证明刘维尔(Liouville)定理:若 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在复平面上解析且有界,则 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必恒为常数.
举一反三
- （刘维尔定理）设函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在全平面解析，且有界（[tex=4.643x1.357]ZhxLb4tGirvvU9aDFRRDeVNwyKDVAqZt9XKKJCKAYWU=[/tex]），则[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]为常数.
- 设函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 $z$ 平面上解析，且[tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex]恒大于一个正的常数，试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数。
- 若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=2.286x1.214]RRP8eUK/dGSwgdOSsCTx8g==[/tex],试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
- 若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
- 证明: 如果函数 [tex=4.714x1.357]ntwd9SnbwzOsgm8kiKUlNg==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,并满足 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 恒取实值, 那么 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 是常数.