求证: 有理系数多项式 [tex=4.429x1.429]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QNgFFcCLaraqTbMtycIQ0cM=[/tex] 在有理数域上可约的充要条件是或者 [tex=4.357x1.429]1hKwgDOa/+zj2gJZCG38JSel4JMigtVN8F5dbW8vjZ4=[/tex], 其中 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 是一个有理数; 或者 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex] 是某个有理数的平方, 且 [tex=3.929x1.429]vgV07I3SF+DQx99Y48jySXE6kBmwynupJctBypfGCT4=[/tex] 也是有理数的平方.

2022-06-01

求证: 有理系数多项式 [tex=4.429x1.429]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QNgFFcCLaraqTbMtycIQ0cM=[/tex] 在有理数域上可约的充要条件是或者 [tex=4.357x1.429]1hKwgDOa/+zj2gJZCG38JSel4JMigtVN8F5dbW8vjZ4=[/tex], 其中 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 是一个有理数; 或者 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex] 是某个有理数的平方, 且 [tex=3.929x1.429]vgV07I3SF+DQx99Y48jySXE6kBmwynupJctBypfGCT4=[/tex] 也是有理数的平方.

答案：

证明 必要性. 若多项式 [tex=4.429x1.429]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QNgFFcCLaraqTbMtycIQ0cM=[/tex] 在有理数域上可约,考虑下列两种情况:(1) [tex=4.429x1.429]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QNgFFcCLaraqTbMtycIQ0cM=[/tex] 有有理数根 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex], 这时 [tex=0.786x1.214]YPXr0S6ZwVAGDtOLAt3Rnw==[/tex] 是 [tex=4.071x1.429]9LdehmwvVogFklaqZ7ua4g==[/tex] 的有理根, 因此其判别式 [tex=2.643x1.429]2Qh8y853vcDl2A5lapsCaQ==[/tex] 必是一个有理数的完全平方.(2) [tex=5.0x1.429]krJLxOcTN/cEtPMU3/x8rJ6AQWw/ue6CimvGtIK4XZc=[/tex] 在有理数域上可分解为两个二次多项式的积. 设 [tex=15.5x1.571]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QE0IT15gdz0Z9Ep712VjlxXa2AfuSbA/ms1i2o7/p+iSKekbc5CrJQxPG3stHaC/2zNT9x3bletzVPsMVNIiE4g=[/tex], 展开后比较系数得:[tex=5.786x2.786]GE56u9QCDTqcLxZ66HADys6AL+Qg1P10yQgQQwlzXcyWF2GJwRzfoQjbrVV+jUvoHDfa6rUd3NPZUq3uHOvoyheS7Lm8A5seBDfFQtq0dxE=[/tex]若 [tex=1.857x1.0]SoOlLTznglWKIeX9jrDOFg==[/tex], 则 [tex=1.714x1.0]KsdsXiz3TIoOwg7hgNuJBA==[/tex], 这时将有 [tex=5.643x1.214]4csba7jtR0JElsMdNvRc2Q==[/tex], 因此 [tex=6.571x1.5]iHtlKD2FO1wnR7LaKwjkHnyZRUkNac+vT8gPhhW++iE=[/tex] 若 [tex=2.429x1.214]if8LlGdz9TZkR2mvx0YYVg==[/tex], 则 [tex=1.786x1.0]RtpbN5xDaWWRNMMqkfsXkw==[/tex], 比较系数后知 [tex=6.429x1.429]MqJJlXmqLflax3ijD5vLi+R4aP5SYNTBBt+28iyGOLc=[/tex], 因此 [tex=5.929x1.571]vgV07I3SF+DQx99Y48jySW4wrTmrKOInRRmZYmj+ubs=[/tex]充分性. 若 [tex=4.357x1.429]1hKwgDOa/+zj2gJZCG38JSel4JMigtVN8F5dbW8vjZ4=[/tex], 则[tex=29.857x2.786]yRPwV/b8Tu1U4ZNwM+WdIICJTvV7h+oKutUTYXT8FnAlo/feB3hR1jDAauspfqqKf3i7RuE00JclbH6ecG0HED4B0S8mNJd/apYQE2cs9qSHjGUoo98dN17Jv41oowfAOQy2Cn79CeplOBtleuqpSoTfoIdkTI+Kd0uKwB5ln23qrwvwTEwabukP9Ap3v9Bo[/tex]因此原多项式可约. 若 [tex=12.286x1.571]VrsrZQVDQ6CRAcDaP9AD5fi90Nwv9C06nAFJoQUqdTv6iZm7L5RcWXp7qiDIX+N6[/tex], 则 [tex=5.429x1.429]gLJpAsjCIfw5uUQjIKTpHIASA/e310/22HDMEcILPxs=[/tex] 于是[tex=22.286x1.714]yRPwV/b8Tu1U4ZNwM+WdIKHkfEp7RQJHMOzVzsKcfZh4ccVd/dvez6ZMeGxWJxcnfQnLIcJX1aRLl8y2jXxnLbhpE9ns8msfG6WlvuGvOQm/iPPdHj3s4QlOI/ByD2fumKF8whfRWS/Zro01K6iTjg==[/tex]也可约.

举一反三

内容

0
把下面的矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它的有理标准形.[tex=8.643x3.929]075gCzZzsMRb6HYXYk9X91pgivcKHIS/01telWJQwUJoP6e14JfyYEfoKLvOF+wXYODVqQFDker7mz2YJ8Ebg7sRuwhbFJRkwaHTKcxqqrKr0GYBqwsrwGb4qm7WzLHg[/tex]
1
把下面的矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它的有理标准形.[tex=8.429x3.643]075gCzZzsMRb6HYXYk9X97JCsalE4H7wEttrl0oWpGLMXZ/33P+quezYuss8KqFBONVXBLn0yoX89jn9INuAMrE7u7VAehu9z97K4wfep+DSbJEz1gMPWbFjLrsON5Rm[/tex]
2
设 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是复数域中某个数, 若 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合某个非零有理系数多项式 (或整系数多项式) [tex=16.857x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcRmDYVKafDemmqfBPM8vgsw==[/tex], 则称 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是一个代数数. 证明:对任一代数数 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex], 存在唯一一个 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的首一有理系数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 使得 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的所有非零有理系数多项式中次数最小者. 这样的 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 称为 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的极小多项式或最小多项式.
3
设本原多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有理数域上不可约.证明：[tex=2.571x1.571]UU/S53EL45pPkcWa0wYy3v1aQxg6w7qjVIpTi0jOh+I=[/tex]在有理数域上可约的充分必要条件是存在整数[tex=2.286x1.214]UoJ3tEP+mDAr6ibD/4uliw==[/tex]及整系数多项式[tex=4.357x1.357]hywdrX0qIQtvlok5269Avg==[/tex]使 [tex=9.286x1.5]20cMYFvUsa77kG82bKSNIRQ0dxNe45HWIih3JNEj620=[/tex]
4
把下面的矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它的有理标准形.[tex=8.429x3.643]075gCzZzsMRb6HYXYk9X95TRB0ZrvdHk+RilcQHME9ovmBTfqK5IpvvpIX2sZQFqAbKMCqJaSmWkMLbBRBVaiH+/AUkT8QfNMBC3DgUmARjb5Lq11sOTlr+/ojh8qJwi[/tex]