求证: 有理系数多项式 [tex=4.429x1.429]JE7mdGX9WOs6nbbjITE5QNgFFcCLaraqTbMtycIQ0cM=[/tex] 在有理数域上可约的充要条件是 或者 [tex=4.357x1.429]1hKwgDOa/+zj2gJZCG38JSel4JMigtVN8F5dbW8vjZ4=[/tex], 其中 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 是一个有理数; 或者 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex] 是某个有理数的平方, 且 [tex=3.929x1.429]vgV07I3SF+DQx99Y48jySXE6kBmwynupJctBypfGCT4=[/tex] 也是有理数的平方.
举一反三
- 证明：有理系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有理数域上不可约的充要条件是，对任意自然数[tex=2.429x1.214]whrA0fswgExqGZH3sbR6mw==[/tex]和[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，多项式[tex=7.214x1.357]F6KQ2rAlES9L/e3AyywntQ==[/tex]在有理数域上不可约．
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于 1 的奇数次有理系数多项式且它在有理数域上不 可约, 求证: 若 [tex=2.357x1.0]7fK/cq1TxJ2b5g4iFumlWA==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在复数域内两个不同的根, 则 [tex=2.643x1.143]+j6YIiBK64dOtAI2TJqlMQ==[/tex] 必不是有理数.
- 设 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是复数域中某个数, 若 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合某个非零有理系数多项式 (或整系 数多项式) [tex=16.857x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcRmDYVKafDemmqfBPM8vgsw==[/tex], 则称 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是一个代数数. 证明:设 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的首一有理系数多项式, 则 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的极小多项式的充要条件是 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是有理数域上的不可约多项式.
- 幂级数 [tex=6.429x3.286]F6JA8zHgEi/j3fVRdm8UBze1TNxtHeIOsbmrxvjN1traMYi4l89u5wSFpcC6f3vA[/tex] 的每一个系数 [tex=1.0x1.0]/DJc0lEQ/Y1auXDMJlAodQ==[/tex] 只取值 0 或 [tex=0.786x1.0]ycpt7/PpiATqHUACAPCXCQ==[/tex] 证明 [tex=2.429x1.357]lrCiwS81ZLblJbuP1EmZ5A==[/tex] 是有理函数的充要条件为 [tex=2.929x2.786]4/2fe6ATVmg90LVQ/aOSZ725C9HKFRN+gRqq6RQuUwI=[/tex] 是有理数.
- 设有理系数多项式 [tex=11.286x1.357]/Qa+vsySExtfTBLkeEoJs+5yKm7Tr2KkdnVuwn2Lr1RImpIJk66jOkjpQ5irdmU+[/tex], 其中 [tex=2.143x1.357]DUDwtYfKfkzOxyD8Wr4KAQ==[/tex] 为互不相同的次数大于 1 的首一不可约有理系数多项式, 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在复数域内 未知类型：{'options': ['无重根', '可能有重根', '无实根', '有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个实根'], 'type': 102}