设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环. 若[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零极大理想, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为不可约元.

2022-06-03

设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环. 若[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零极大理想, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为不可约元.

答案：

首先, 易知[tex=6.643x1.286]aazYDv7I1UHz8J0lpJui7eLGL4CndmdIx3/KAdUo3vY=[/tex]. 设[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的因子, 则[tex=3.857x1.357]ZTzGliTvr7CiOqJSbNNTPhfZHHQrqMeWxKhCiP2bXKerEJTxxUM8gijSUB+/GP06[/tex]. 因[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的极大理想, 故[tex=3.286x1.357]ZTzGliTvr7CiOqJSbNNTPn4cmYHQSA8CM1oiBzKbbNXnQGHJC0pQ9dwNqqOU2pO8[/tex]或者[tex=2.786x1.357]ZTzGliTvr7CiOqJSbNNTPkAKjbAxzdO28/Rh03ELOdo=[/tex], 从而[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]与[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]相伴或者[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是单位.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心.[br][/br]求证[tex=2.286x1.357]jF3SYJxDJgm6KahDCZyxrQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环, 但不一定是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
1
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?
2
证明(1) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任意有限多个理想的和还是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想 (2) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 的任意 ( 有限或无限) 多个理想的交还是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.
3
环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]叫做幂等元, 如果[tex=2.143x1.214]zODDITGVg33rYRBP98VF/g==[/tex]. 如果[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]又属于环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心, 则称[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为中心幂等元. 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是含幺环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心幂等元. 求证: [tex=1.286x1.0]74n6tKMlTkqGjOgbHLaoMQ==[/tex]和[tex=3.286x1.357]Gtj+ow6IJXfT/5Cqvn1yJw==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想, 并且[tex=8.071x1.571]MmjD0I0GjyEBGOdUmoAh3B6xr+6qlyOK1w97+6f7Z54=[/tex].
4
(1) 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺交换环, 求证环[tex=2.929x1.357]6PWl/fP3j/y7kKn3SuUmlw==[/tex]中每个理想均为形式[tex=2.643x1.357]bIca31SPWWCVnjLQzUHuxg==[/tex], 其中[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的某个理想.(2) 若[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, 则[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]是单环.