举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.571x1.0]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfX7A5Q7gBBke5x+UKJII8/0=[/tex], 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 有子环与[tex=0.714x1.0]A/RYZa+bKKYYpjzBS/r5ng==[/tex]同构.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环. 若[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零极大理想, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为不可约元.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：左[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的自同态环[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]反同构。
- 在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: 当 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 有单位元 1 时, [tex=4.429x1.357]4JrYOSIkMQoe3Y+F4Vi5Fc5yM1n+xB9pVJ12e7Wlm6A=[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。
内容
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：右[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模的自同态环[tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构。
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素元当且仅当[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零素理想.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=5.714x1.357]Z3oibzrlRhHqic0yqSPhvQ==[/tex]与[tex=3.786x1.357]maY8sld12/N7audyO7jvLA==[/tex]都是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环,且后二者还是零乘环.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环, [tex=2.0x1.071]oYU6699DPbu9TiKgTE5IEg==[/tex]. 证明 :[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]对以下二运算[p=align:center][tex=10.786x2.786]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dg4OilMZFIykn6wqx26v/ft2WbzX9YovTjcJWu178wS23+g/vcBeBZVdEiFFwz2fBD3xuQjWLCCeTcojW7TB3v0=[/tex]作成一个环且与原来的环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构.