在上半平面上求一条向下凸的曲线，其上任一点 [tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的曲率等于此曲线在该点的法线 [tex=1.571x1.286]DxkaqxrqEWa0dZ+z/jyakw==[/tex]长度的倒数 ([tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex] 是法线与 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴的交点），且曲线在点[tex=2.143x1.286]OGI1nc8WH38NKUnYUafisA==[/tex]处的切线与[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴平行。

2022-06-03

在上半平面上求一条向下凸的曲线，其上任一点 [tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的曲率等于此曲线在该点的法线 [tex=1.571x1.286]DxkaqxrqEWa0dZ+z/jyakw==[/tex]长度的倒数 ([tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex] 是法线与 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴的交点），且曲线在点[tex=2.143x1.286]OGI1nc8WH38NKUnYUafisA==[/tex]处的切线与[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴平行。

答案：

解：曲线 [tex=3.571x1.286]7PhPA+6l56/czcH4pIppzg==[/tex] 在点 [tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的法线方程为[tex=7.714x2.571]mVqWf78cuBupxBIf+nREtOStIMpNDdcf/95u2c/+y8rR02Jj+oobaPpe+u3u9RVF[/tex]。令[tex=2.571x1.286]oudOjkztyrnAY6Y1BpIJRQ==[/tex],得点 [tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex] 的坐标 [tex=4.714x1.286]/bbhNZsobDOUnQtBTBwh9+T/JXmAYgA6K2lR7R4+r4OnJCFuQUSxgZ9sHktA7B55[/tex],于是[tex=13.357x2.214]HqL/Gmb46GmFkkjeWu3tjiiqLjhKgYMKuOODfkZsywRRasEKbr9V48zSk4evON5+BhDL2ITozhSgkJTum7emSWU9XvIo9UxzR2sRmK8WBjrOVPeJMGcwJModDYG3UAyM[/tex]。依题意有[tex=10.071x3.0]CiBohY8N4BJ++lulA1KWqYPEaiWsNXDK47wnj5Xa0pKs5MFJ1GCiCJtWC9qbmYoF63zfqhBP3ogZdye+GeL7PvLmmjsRldeHDTrC3LQp8T2q6sxdBXknGGzTlaz43miqt54gicAAtuPun04E+qoUZIsouJCDRamrHC15/dc14Ta4dGVNK7qkS4hjDHZEGftQ[/tex]。因所求曲线在上半平面上且向下凸，有[tex=2.929x1.286]0YswJBjrF6tFetLoGVlFuA==[/tex],[tex=3.857x1.286]iIFCqbR3vG3iHqalqxBHIWhHdBi9z3k1ZI5GYmZ+QoyQZxMWfmYOJc1HT3qqO9S2KFuYIoh0PrqHH7L/AU5JTA==[/tex]，故得微分方程[tex=4.5x2.643]PIWHqDGNuP1uYhlIpZE368bRgIu/qo5OIwIh3AKV9OltAUWv789y39YhaiaR9WlLVRoF4/YcFKstfdf5jRhTKA==[/tex]，且由题设知 [tex=4.143x1.286]HcVZp5W0l7gxqJgKxGmkqBMTJMH6FKziL7PQQTgAz5s=[/tex], [tex=4.429x1.286]sjfuWMMhf0DWjH0tcVJe8ByoJzo0O5NIt+uOekcKHyRX1a1lOzB0aqpX9ltyezh7[/tex]。令 [tex=2.643x1.286]pCZPVGBKK5RW2fLoslnD0axvx+FfNxYgBI9g5uCc/qQ=[/tex]，则 [tex=3.714x2.643]Ei2PZQl92La73hUrygebc2PNhfqkzt410+IVCyYes0iAFQkOw75ptDF2Xtr9BSIyaRtuFhpjGNbkdg1NPENF6Q==[/tex]， 且微分方程降阶为[tex=4.857x2.643]XekPSgTX3UIIsL5HMRMk/4ueu1liL73aJiO3yzr08XYgTpU5nw7Qq01CdNZfpEJswxuVIO6yovMa0FT3z/nwKw==[/tex]。由条件 [tex=2.286x1.286]00XlJXnsFPYY5douG8n+zA==[/tex], [tex=2.357x1.286]ZDRwGMEYkStouj7ziSv7yg==[/tex],积分 [tex=8.357x2.643]GBRKjz5UtIVcIPqJ5MWj+UFfCYAA9MYSWOFV/40AvKefuGbVhB32jp8l8nsCYGdmQmnuG9ioEcyQj4CTnGpX1NGJYw30lQWnVX1vc/Sz66jm/YmEZdsMlIQN/0wHq4JM[/tex]， 得 [tex=8.143x2.0]/VdyF8AKTGJ3upzK3IZA96pcfE6QIWeUeKPN1sJA4CMEJGY8n9859YRxvvnEvXlY[/tex]，从而[tex=5.786x1.643]8Y1KGWYqyY8PEyAdhUdEqOdY98txQXjsIu3vl6Tlflk=[/tex]，即[tex=6.786x2.857]4MHhesgJJwrKkcFfvkAG+zYyKkdjr5fgt+NxOqbE0zkxlqlDP5EuVNOagMF+mtJUXwuWlvMHgN46Taju3gn3vw==[/tex]。积分得[tex=11.0x2.214]sWHpghK65/PMt3CgCi/9P+ilMCw2x3mWxWeGIrcHfmUDuxAAIIkH9F66Siw9H44F[/tex]，即 [tex=7.429x2.571]NWu87977m5rVEPnDBIY7eHtcztx28pg/Vr27u4/VbHlfcNyNkRAp1JLVMnDEqusSnS3UaVEWObOhgSF8KMU08g==[/tex]。代入初值条件 [tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex],[tex=2.286x1.286]00XlJXnsFPYY5douG8n+zA==[/tex],得 [tex=3.286x1.286]rG98abupkecbRM3m8q7bdA==[/tex]， 故[tex=7.143x2.571]jvJfuRt9Wb/a8O5cJu3oBX2Fwe4Nh4ZzXWdJR4pXPslWWN60ZUl/kfbmdDZ1EpAD93SqTjB4SwfeLGCCQtKlKA==[/tex]。

举一反三

内容

0
设位于第一象限的曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]过点[tex=3.429x2.214]svxlIEBXdNxoqp6wzeigQBhZak6lSnabP7YC5AuQE7OH7PGQAXJ6MVDyIv1rIvWb[/tex]，其上任意一点[tex=3.0x1.286]kyujQA9JEEfOzSysFBnMcw==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴的交点为[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，且线段[tex=1.571x1.286]+40+xgx+PPxliwZt1F/RBA==[/tex]被[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴平分。(I)求曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的方程；(II)已知曲线[tex=3.786x1.286]BQBaxI8k9F73aCnSHszVhg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]dE9QZiXxivv7bu3TxEuD0A==[/tex]上的弧长为[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex],试用[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex]表示曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的弧长[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]。（本题满分12分）
1
已知曲线[tex=11.643x1.286]yYucU56MDHrvzh/EU3OSiYd+1k0SS97W1sScumovndSCw/jKnL8hRvi1520dD7w4[/tex]与直线[tex=5.0x1.286]7WR/Vw5ILHJla5e+Nmvh0g==[/tex]在点[tex=2.143x1.286]kdQpr9J+WanxGl2OFgh/uw==[/tex]处相切，经过[tex=2.929x1.286]B9TB+/IeKuwWhaMbH5Jesw==[/tex]点，且在点[tex=2.143x1.286]wf4ocF1NHLW/5FoA7TOUdg==[/tex]处切线平行于[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴，求常数[tex=3.214x1.286]yKOEqwUzyJY9PAzE36jewQ==[/tex]之值，并写出此曲线方程。
2
设曲线[tex=2.786x1.286]FRaQ+fSYmTey/VRrz/cA2g==[/tex]（1）求曲线上点[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]点处的切线与直线[tex=4.571x1.286]mCIddwK8TgrSbqK/SlosUw==[/tex]平行；（2）求曲线上点[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，使[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]点处的切线与直线[tex=6.714x1.286]7qTFs7Q16C/1zRCCqYHS9Q==[/tex]垂直。
3
曲线上点 [tex=2.786x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的法线与 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 且线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex] 被 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 轴平分. 试写出由这些条件确定的曲线所满足的微分方程.
4
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1) 曲线在点 [tex=2.286x1.357]Vc2pH4ypHndnllKqCpRn1g==[/tex] 处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方;(2) 曲线在点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex]处的法线与 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 且线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被轴平分;(3) 曲线在点[tex=3.286x1.357]Muwjr4G+q7cJWSQhk4GPHA==[/tex]处的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴,[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点依次为[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]与 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被点 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 平分，且曲线通过点( 3,1 ).