写出用牛顿迭代法求方程 [tex=3.857x1.143]zr4j5FP3yWlTtSU8V4mAgQ==[/tex] 的根 [tex=1.429x1.357]SKHGQiD5VUmRNAQNNAHuIA==[/tex] 的迭代公式（其中 [tex=2.429x1.071]Rgnw6H9bxYi8lkJDrClV2w==[/tex]），并计算 [tex=3.214x1.429]2MRMn20OtRBaXlrdqVCGc+4mXYLGuWcyIJ7LRphfdVA=[/tex]（精确至 [tex=0.5x1.0]gHMbUA0oVdAA3pW6qwPDjw==[/tex] 位有效数字）。分析在什么范围内取值 [tex=0.929x1.0]Y+PfjwqPGaCwZuFlOl1opw==[/tex]，就可保证牛顿法收敛。
举一反三
- 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至 [tex=0.5x1.0]gHMbUA0oVdAA3pW6qwPDjw==[/tex] 位有效数字。1) [tex=4.929x1.357]Lt1qdkIcbJ6rvLY8Oy70OA==[/tex]；3) [tex=8.714x1.357]yElsQvRghZUYucdNW9lleb62QloKzE+BwXgdLeUt2xI=[/tex]；2) [tex=4.071x1.143]n1ZRctYcuGPiF0Ch511gMA==[/tex]；4) [tex=4.429x1.357]kfg2XKfjtAAAOTX+FVYxbnFOvGl/iIp+at+IrmA5XVI=[/tex]．
- 求方程 [tex=5.286x1.357]b8x+HIwVGc7xahsEc9sRcMwUXiUKdVGGev6C0crMcuc=[/tex] 在 [tex=3.0x1.214]B/6HLbSvKNiAc4VhjvdhHw==[/tex] 附近的根，将其改写为如下 [tex=0.5x1.0]gHMbUA0oVdAA3pW6qwPDjw==[/tex] 种不同的等价形式，构造相应的迭代格式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至 [tex=0.5x1.0]gHMbUA0oVdAA3pW6qwPDjw==[/tex] 位有效数字。1) [tex=4.0x2.357]m892E3dxsWaMUPqSSU2MCPLZ05gaN14+N7coyNXgRs0=[/tex]；3) [tex=4.643x1.571]zR0wi7MyQSLwl2hCChkvdKalYEsTP7xxSpZz2CMEFJ0=[/tex]；2) [tex=4.643x1.571]Qds2pLt4D+nKRXhBhlpMvVAjZSI8XApe1xgwBG1pEKo=[/tex]；4) [tex=4.5x2.643]AwYqFoAWXwSNxpiGWuNp61BUSBzqn6fXL1Hwn3r7Yjs=[/tex].注：如果已知根的一个比较好的近似值 $x_0$，即已知根 $x^*$ 在某点 $x_0$ 附近，则当 [tex=5.143x1.429]uTPonVJu1asGR5YYp8oROr1DutMOZif1XMMTYhGTQvtbkGAYE1Lmw+VDv0N+uogywZI7wTqeh3eEcyRI8nvv1A==[/tex] 时迭代法局部收敛，当 [tex=5.143x1.429]uTPonVJu1asGR5YYp8oROr1DutMOZif1XMMTYhGTQvtbkGAYE1Lmw+VDv0N+uogyUIUnTPHvCwCBXOIvh/Ckmw==[/tex] 时不收敛。在收敛的情况下，[tex=3.214x1.429]XD3+e+Nuwqn8eSMFJ7QZpjMEBIkWxmJ1D3Qt62JMjAJ5zik0tvU6Sfwdxygy9Uth[/tex] 越小收敛越快。分别计算 [tex=3.5x1.429]uTPonVJu1asGR5YYp8oROtvGGTz6/tmdtS/y7Jx51S58vd3BYAzsxRcU/BeOg/tm[/tex]，得到 $0.5926$，$0.4558$，$2.120$，$1.414$，前两种迭代格式收敛，且第二种收敛取快。
- 为求方程[tex=5.286x1.357]b8x+HIwVGc7xahsEc9sRcMwUXiUKdVGGev6C0crMcuc=[/tex] 在[tex=3.0x1.214]B/6HLbSvKNiAc4VhjvdhHw==[/tex] 附近的一个根, 现将方程改为下列的等价形式, 且建立相应的迭代公式:试分析每一种迭代公式的收敛性, 任选一种收敛的迭代公式计算 [tex=1.286x1.0]i/VcY7by/UxU03MsbHMszg==[/tex] 附近的根,要求 [tex=7.643x1.5]CgjGqoj5LTjOyOUbU0Yf6nUap8hRmHtad4yqKuzw0UqxfdyXhiYBjHRkm+f9wGyS[/tex](1)[tex=4.5x2.643]X/zRiovTJ2A4Y4O3BztulSAZJhaxY3gKFSdEkvP/E2o=[/tex]迭代公式为[tex=5.714x2.643]SsPHz67ILR0/gXxhPHaAV2M/meVDLtmeQOLfDdr+zQdN8qx5KIPuVSpkx8Z9PI7n[/tex][br][/br](2)[tex=4.0x1.357]3KozVi1zSecNbmBdM5I+tg==[/tex], 迭代公式为 [tex=7.5x1.786]gkt8+lpxBz0cxz/b0vEf9IOaor7rQ8C18FWT9teuO39dsxSY08VQKlGH2df2XsBj[/tex](3)[tex=4.5x2.429]9L65CAyapskLso2zyy29Qvx3CKlajEyON+mihjqaAQU=[/tex]$迭代公式为 [tex=7.571x2.857]8WsLWWUtkwFAlCmH+3u/xSQi/dF/4Fz53PjI03BJFP6XREvE8vDVlLZxD56Sg0Y0ztYsGB4+fhAN2IEQMwYj4w==[/tex]
- 对实数[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] ，列出牛顿法求[tex=1.429x1.357]lIEs7ONRz/p9SSlYhnHs8Q==[/tex]的迭代公式。
- 求函数[tex=3.286x1.429]kdT+eIE7CHPynuN6CaN40g==[/tex]（抛物线）隐函数的导数[tex=1.071x1.429]BUw1BPFU3fsJlAl/vt9M9w==[/tex]当x=2与y=4及当x=2与y=0时,[tex=0.786x1.357]Hq6bf3CacUy07X+VImUMaA==[/tex]等于什么?