证明:若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为连续函数,则下列函数也是连续的[tex=6.0x1.357]dKBc3FhiScsKXF4TL7NhyxVf26eQf8xztvKBMERza6k=[/tex]

2022-06-01

证明:若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为连续函数,则下列函数也是连续的[tex=6.0x1.357]dKBc3FhiScsKXF4TL7NhyxVf26eQf8xztvKBMERza6k=[/tex]

答案：

证 设[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 为任一连续点,则对于任给的 [tex=2.357x1.071]zaTYmiB02c3fW3zvAQdizg==[/tex], 总存在一个正数 [tex=0.5x1.0]g3C024VcW5lWpceJ6ZrB4A==[/tex], 使当 [tex=4.643x1.357]zj2GP2WPSjSnFOWO8DtwKVcg8eUqb7o6avI6BQJPplM=[/tex] 时，恒有 [tex=7.643x1.357]CmuKCAt0ETggaF20e6bx7OR99X7ErlVQ50Bfz5jL/cCRnZ1qfcY3EMNoUyiToNmSH1jpEQS+yJ7/YOMDAq7eVg==[/tex] 由[tex=27.143x1.286]POJcvFMzlgD3+sZIHX5hCBrgl7TKS9n33Bh1a3GJo+VvTkjgR1PX6pMaQPFa8RcTQaCfBJcSPS14hnlX/V3q8GLuGsgSTBsHAGKPl+VJ+f/tZzh5AZELmyTxo/e12UO10nZu+ngysHwERd26VG7qcl/pVszwGwoyv+mcgg5LlDnKCZozhx33Z+lf5d26AoFg9ET6u752+gcOZu/D6Ik1tg==[/tex][br][/br]故[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 在点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 也连续,由点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]的任意性可知, [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]也是连续的.

举一反三

内容

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设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为连续函数，又[tex=7.286x2.643]ohMuAAUO8tbfC4KGY2AtFrExZMK4JIwCs97TjEC2HbI=[/tex]证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为偶函数，则 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]为奇函数.
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设: (1) 函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]连续,而函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]不连续; (2)当 [tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex]时函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]二者都是不连续的,则此二函数的乘积 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在已知点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 是否必不连续?举出适当的例子.
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若函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内不可导,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内不连续.
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若函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在有限开区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上一致连续,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上有界.
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设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是连续的奇函数，证明[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的原函数是偶函数。若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是连续的偶函数，问[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的原函数是否都是奇函数？