设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是复 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间 , [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的闭子空间,则 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是 [tex=1.714x1.214]rnLvQ8JeTO5z+KuB+IeTJQ==[/tex] 是一维子空间.

2022-06-01

设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是复 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间 , [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的闭子空间,则 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是 [tex=1.714x1.214]rnLvQ8JeTO5z+KuB+IeTJQ==[/tex] 是一维子空间.

答案：

【[b]证明[/b]】  必要性若 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 上某个非零连续线性泛函 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的零空间,对 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]利用 [tex=2.571x1.0]nZzDKBWVv1c/TqeLs698Iw==[/tex] 表示定理知，[tex=5.429x1.214]UnlVfnAc+hcJYpSKUkbLnLNE8moJutcWx6S1PZHCaW0=[/tex] 使得 [tex=4.786x1.357]xaFQHZH8W+ZYkoXhA1mou8EOehpTZ+5exCiBpfjhiG0=[/tex] 对每个[tex=2.643x1.071]zmcSdSvQzU1k+SNczsBe0Q==[/tex] 均成立. 则[tex=12.786x1.5]iLAmSi4d+tvximfM6ASQ0/lX3f8GioAcEt+VhVJ4B76MCi+gXZ9aXvujPMULxcVr/nZl/uHgdjfxYcvSwJ/CHA==[/tex]所以 [tex=11.0x1.571]M4lAdCY7qZ2jRDY5fvMGYSKB68avf3png2ZNtLnVROK4OXcKiu0ADdoQT69NmUwisjOkS5qaDac8KIp80xNiYCcru4QnKIw6BKtaIfapQS4=[/tex]是一维子空间充分性 若 [tex=1.714x1.214]rnLvQ8JeTO5z+KuB+IeTJQ==[/tex]是由某非零单位元[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 生成的一维子空间, 令 [tex=7.429x1.357]xaFQHZH8W+ZYkoXhA1mou93gqKIYvAoFWQJRDvy/sFuxkg+tP3y3fGFK3xd2ba9D[/tex] 则 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 的充要条件是[tex=3.714x1.357]W2C3/T9w6UEl2MXDZ/TAJ0HOjoba2d1B1rUrcfN5Ccg=[/tex] 即 [tex=2.143x1.214]w88rC/pQ61uVpXdytGGz8g==[/tex] 即 [tex=6.5x1.786]m64G49+44Ds+sHFP9GDvr4v8kwF0SfM6km3ZM41nWCeiMAxCxTJi5MfZtd/KdwZ5[/tex]只证明此 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的连续线性泛函即可.事实 上 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的线性性由内积的线性性即可得出. 而[tex=12.643x1.357]CK+8U6gIyj6obyG7Xy0sCdK8uc9eoWhvxaJN9Vk/wCAfKlesGA4JgbT9elfoKFM7/njHREE2QK/ptIaWHdxFgQ==[/tex]则 [tex=3.643x1.357]l5Z7PPwp8AFm6tzjkLzDe10nI56PIxpQQZ/hnuwuBLU=[/tex] 即 $f$ 是有界的. 从而, [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是非零连续线性泛函[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的零空间.

举一反三

内容

0
设 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex] 是两个不同的素数。假设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是整数集的真子集，且[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]关于加法是群，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 恰好包含集合 [tex=7.071x1.357]MqKJXRbDTs7IQllGZ/2VefxDlqHuel2g3dDNAJgOxJmuzhr9r7T4CuycsTd6u/Ht[/tex] 中的三组是 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 中的这三个元素?[tex=26.5x1.357]BqauPyrttdd6EB8PUwdVroAo/8RfRuVPH+y6NJtrFEQE1d6ErZ4bxJ9W/5nN+YlUc/LUbIAOqXHITaqJeIEHT84bFpbRIdn1S88LXHjvWXCRFwJL7M1IU+4LOO1bRhifew2Yw1DjZb6SX0so4+b2JHe4emotLyMQcmX8dWHrCc0=[/tex]
1
设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个非空子集，且[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]中每个元素的阶都有限. 证明[tex=3.0x1.143]Y4KThpboUkwolMqAX9epwA==[/tex]当且仅当[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的乘法封闭.
2
设 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间. [tex=5.571x1.214]d9y+KLOQpwgiIZSOmy+NwuKjcx8pDZqu3h/Q7GEiRUXNWVSQuNqvmSjPX4RH1hbd[/tex] 是 [tex=1.643x1.143]Apl+Iyr98SM82a4tV6MsL58mtovjf7s5IPOrDAAvICA=[/tex]子空间. 若有 [tex=2.857x1.071]rGyNiTIJyy6kriDb3B0UKg==[/tex] 使得 [tex=10.143x1.571]ga84kE3N3GmWm6zQoXwcwyiByVeiyWdBfeF5Q3UX8B0PjtzZLsEES7Nvs58MtPCnSbWC07RBrQ5zvX4RhdJbX00CipVW1Kbs9aXJCZkBMrCvqhKKiN0uh7j8i2poCr6o[/tex]，则称 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的循环子空间.证明：若 [tex=1.786x1.357]GQmdrPYXs/Yvv1PiTQW1W5m0yAqpTVCUMzMk1LQlQNo=[/tex] 在 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 的某组基下的矩阵为 Jordan 块 [tex=3.857x1.357]wfiHn6lCgzFOTBRaG9+epv/3bg5LWn4RbvudpqiItp1THFm3jgJp1g85l1Qp3MRW[/tex]，则 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的循环子空间.
3
设Y为拓扑空间X的子空间，[tex=2.857x1.143]NVnyOfFr6g+52w3PWMWtUw==[/tex]。证明：如果A是X的开集，则[tex=3.214x1.357]A5fpx1grvjGXknKAptjZSQj/Uched02zngkQag+eknY=[/tex]
4
设 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 为交换环, [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是它的理想,[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]作为 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]的加法子群满足[tex=4.0x1.357]BtOl0mWyJ9+iD1LC2aiP3w==[/tex] 素数,则商环[tex=2.357x1.357]4a7iYCPzlZljuPyQ20oqPw==[/tex]是域.