对于函数 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], 如果存在一点 [tex=0.5x0.786]YHGA9cThDsEDUVYcCJnsSg==[/tex], 使得 [tex=2.929x1.357]MyWa/rFst2JrhAIUHB+wbQ==[/tex], 则称[tex=0.5x0.786]YHGA9cThDsEDUVYcCJnsSg==[/tex]为 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 的不动点.利用介值定理证明: 定义域为[0,1],值域包含于[0,1]的连续函数必有不动点.
举一反三
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [ 0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导, 且 [tex=11.357x2.786]u3I9NK+YXWQHA8Xsh3qdnV8OesAjXOEF7DMMH11o5WboK7NMwxbM8Qq4GyilEZH5Qrw+bgu9YK8RG6pcCgtHAQ==[/tex] 证明：在(0,1) 内至少存在一点[tex=0.786x1.214]pzRmOCyu+nMVzYvRK/WB3Q==[/tex] 使得 [tex=3.357x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOq3O+kyDOdO+z8ksZEw4kLM=[/tex]。
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[0,1]上有原函数, [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 是[0,1]上的绝对连续函 数,则 [tex=4.0x1.357]wTdt1epu+Qhy4zTvRJ9FLI85iPJ1SmDcgOhKbcjqUOQ=[/tex] 在[0,1]上有原函数.
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导且[tex=13.857x2.929]J8x9xO1cLFvTyPSD2RXzetHEtAXOHJg+1JMvG4wOe8RNnSwrT3jqSl30SGdJGy+8/UloZ2DCFYIH0GIO1LbSKfl0+iaf3xyqYt8fWxg1dS4=[/tex]证明:存在 [tex=3.5x1.357]6a/iVMMy9T2UcuXmtIMBUw==[/tex]使得 [tex=8.786x1.571]aWJWVBG3St35JwVMiGniOjEPZEgjYMU1UJNkcNBl1qN4KSj/eSov3yQQyWqDmjLRl85up2U47NzTejoF7j5ezw==[/tex]
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是定义在 (0,1] 上的实值函数,则必存在可测函数[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 与 [tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex], 使得[tex=10.429x1.357]AON31GdF0HDN0kIH5BlQ6hPGcgkrXUnRGNQN4wfqABqXIz3KmGxSDjhOaSi8HOCA[/tex].
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=6.429x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGOROme7UMSqlNsxt5NS/Crc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上恒为 0 .