证明，一个群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阿贝尔群的充要条件是：对于任意[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=1.929x1.071]ak856Hosixr1Yfeo8wiO7A==[/tex]和任意整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，都有[tex=4.857x1.357]7GZEZ5tDqUpZ/tnPSWHv8C+DVnLq6msfRHFc4v2fAkM=[/tex]。

2022-06-11

证明，一个群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阿贝尔群的充要条件是：对于任意[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=1.929x1.071]ak856Hosixr1Yfeo8wiO7A==[/tex]和任意整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，都有[tex=4.857x1.357]7GZEZ5tDqUpZ/tnPSWHv8C+DVnLq6msfRHFc4v2fAkM=[/tex]。

答案：

证 必要性。设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阿贝尔群。对任意[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=1.929x1.071]jH1rj5g6tRPitOL3SvQOWQ==[/tex]，有[tex=2.714x1.0]cMGC082i6AJLluWfTgIbZw==[/tex]，所以，当[tex=2.5x1.071]158MTjYs71c+Of+LNCChAQ==[/tex]时，[tex=21.0x1.357]w5Rdrsp49x4uxCJRwMkYDKr/1AH9cBDHuaQ8rUy7TBSgJH2Uhe+rT+LxvUUwqYnWqUVPzxZ+Dkl97QvMK0ze/qRMIdYKtFZ3lqHjP6LH2Mc=[/tex]。当[tex=2.5x1.071]f0WLlJsf+E3d5DhkY4Jdow==[/tex]时，令[tex=2.786x1.071]+xIhyAIvct428MJHPxg0FQ==[/tex]，[tex=2.5x1.071]V/KcfU0FdJXC3LwIuxV6jQ==[/tex]。因[tex=8.071x1.929]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpIYtt7CJIAJoWw7QuwlhEcgVvIPBoGY8vAMp6yEQnNgALnjuT3wVZBOLRusH6pzgsHqXcBPMn9pF5ov8POc63+s=[/tex]所以[tex=6.286x1.5]yjg9k2T+pJyleedYCTqPx3paDayjCAjhw8tTcyb5Axc=[/tex]。于是[tex=18.214x2.786]bSn7wcFQWK6cSjYNutuuTtgWQ/P/7bCui6oHice4RZLlT7a6OBzjU38Td1WKTf/pOyfdF4vZfPzBl1hbXI7eXzJ2wnbgZUNDfwgR/uQUSEzsrqoiRTjoK8PP9n5XBqKBJnXDvqqpwHmNsVua1ZSB4jBImuCCgACjcUPe2/qH++qtLcE4xcTgAGI4/UMt0yQEWh/yG2o7yjFkL29aJ9iUnA==[/tex]当[tex=1.929x1.0]rWpiA5mn2p7iuZx/oVniRw==[/tex]时，结论显然成立。 充分性。若对任意[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=1.929x1.071]jH1rj5g6tRPitOL3SvQOWQ==[/tex]及任意整数 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]都有[tex=4.857x1.357]t48K1M+FNgLFpJU7RDyhavlnTdKOCSG/dwBV1W58tpU=[/tex]，那么当[tex=1.929x1.0]NmPA2D71I8nc/KlCSQGiHQ==[/tex]时，[tex=6.214x1.357]mjEXV4nE0W9sa/qNN9eDGWH17iNm7TB2t/l5NGClrAo=[/tex]。从而[tex=12.643x1.5]QvmKPHU7HBkjPuKtbu8wRoAR8ryKjbicvpgcP3CFW6u7enPH8XtOBVYOCMAetg7H[/tex]于是[tex=16.5x1.571]8Vhgce7YeVTJPcPugRWvmJqFxlL7QGlfA/QRsy2dO5PIPfwxDPMcbwIxzM2k3gFvIYkvLtT1kGO+dzN6Vj4zG5BpwZd6F8fd1EKKaIrmiKAV8dtvD8SaBz45NqG9HKXQ[/tex]即[tex=2.714x1.0]Fea3STervVO2ELCPQeKZog==[/tex]，故[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阿贝尔群。

举一反三

内容

0
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中元生[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，证明：[tex=9.5x1.286]sR//uEXSFyFtsl0ffa3c03auSOyu9vm3TbYVRut0Q/WqGhmMSqplGf5uvm54NlCMMYz+k4vlrF0nvSs1WIHyhw==[/tex]
1
设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的元素. 证明：[tex=12.643x1.286]n1IP3yK+MCZrLTEr5EjJAZxrLDmns8eA83GW4hLvXDt9duPKpDYlWDbW1dgDchQzFv7AEJs1TcSCiOAPKQYQf73r3D86/XO36/XhLj47Vbkzdp/CSvUxl4/E9/HlWKdziUHjXhAvvxz0InqOPUR0xQ==[/tex]
2
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群。证明: 如果对任意的[tex=2.357x1.214]u2lVcDsim/zlZpBEangpAw==[/tex] 都有 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex]，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个交换群。
3
对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
4
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.