设曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]，其中[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是可导函数，且[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]。已知曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]与直线[tex=2.357x1.214]/1Hc3IEqjvG22LyL7cBWzg==[/tex]，[tex=2.286x0.929]F8quAfqxSMq0YNz0Jq+5mA==[/tex]（[tex=2.214x1.071]86xUT6AeJTGyCzwI/MlK7w==[/tex]）及[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的[tex=1.0x1.286]7KlWS0ahNKCzY2AzcgVzCg==[/tex]倍，求该曲线的方程。

2022-06-11

设曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]，其中[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是可导函数，且[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]。已知曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]与直线[tex=2.357x1.214]/1Hc3IEqjvG22LyL7cBWzg==[/tex]，[tex=2.286x0.929]F8quAfqxSMq0YNz0Jq+5mA==[/tex]（[tex=2.214x1.071]86xUT6AeJTGyCzwI/MlK7w==[/tex]）及[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的[tex=1.0x1.286]7KlWS0ahNKCzY2AzcgVzCg==[/tex]倍，求该曲线的方程。

答案：

由题意，有：[tex=12.429x2.429]UDvst4LtdPZpxdx2lJxTDeF7prkl7dWy8NmbYKaxHauiU7XUimwsYmeGhE3BuMHz[/tex]，两边对 [tex=0.357x1.286]tv9NEQGfxmSBsvmqN3/Q7Q==[/tex] 求导，得：[tex=11.0x2.429]gKuSU3bVbrHAgGi8XQWrLFTwR0Hbf0UcBZ3H5RLwmbBFNauZQbpqDZxkNSmayj0L[/tex]，代入 [tex=2.143x1.286]tB3xY19iQ1U20WlOQhphvg==[/tex]，得 [tex=3.571x1.286]w1MH71jHcYiNBo5YT0UMjQ==[/tex] 或 [tex=3.643x1.286]m2cJoRkBM/P1viHfQDbJ9g==[/tex] （舍弃）；再求导，得：[tex=11.071x1.286]KmFpNMgVp9Q2k2doMBwzhIpeeQ16VIJzBsnavwIeanw=[/tex]，记 [tex=3.5x1.286]P8tv9NjFUgI8mgvv2WeWQg==[/tex]，得[tex=5.786x2.214]Dv8irRB28+ji89mxm6fp9rGR+twGuD+jFzJRTPpo9eZhtYZCRQ3pNRJnatSJr1vw[/tex],所以[tex=11.786x9.643]drUPLGv9y85j9myErLlNFaIogA2ZdPOtU+lgEd674ROfXCOnAfDAcZlsS9gz5dUjPOmyqFyJyNbNocW0aPRZb0pCIJb6r3RmpV1zi6qSyiboT24we4vpZ5c3K5ZqDJg8uT8fyRZ1hghAN4XQdFNG3abweiZkRQZGwBi0W/ct8Iwwr8x+5iIvwWTQ/OE8DJxaS6Z4+Mc12gTga/RZ8J6TNr56YqPCyuNUfQ/kHIvziOp7DMaYuU48Ss3fbu25YnHrVo9b87Ok7wGNfc6IKBVNQnUUg5X23IvEX+oglxKXuPw=[/tex]代入 [tex=3.571x1.286]w1MH71jHcYiNBo5YT0UMjQ==[/tex]，得到 [tex=2.714x2.0]X7H+sY3bFgiGoiJv/bAQpn9CKsLn74v2RQLDnE7eeeQ=[/tex]，所以 [tex=6.429x2.0]I2gfL4CMvFtmH7qg8J0j0G46CE9vAzvEz9pUNKj5Mmv9EYQeeOmHR4ji3ZTN1hSn[/tex]，即曲线方程为 [tex=6.643x2.0]lL59noFWnKaX0niWkHADBalCsapc6okXBuNYdcHJIAMjCpEvW1Nv2pyfNBKf24dm[/tex]。

举一反三

内容

0
设位于第一象限的曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]过点[tex=4.071x2.929]Xnmlr+KlAtEKhTk/UWXCIL7ggPtFLVwR5KDedvKG5QiK49EY8IBiyTmrn7nPv59IylKPeJtYvXSpGIBOA6VJmg==[/tex]，其上任一点[tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴的交点为[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，且线段[tex=1.571x1.286]+40+xgx+PPxliwZt1F/RBA==[/tex]被[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴评分。（1）求曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的方程；（2）已知曲线[tex=3.786x1.286]BQBaxI8k9F73aCnSHszVhg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]EsPCSN3OT9yaBYSPcaTCfA==[/tex]上的弧长为[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex]，试用[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex]表示曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的弧长[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]。
1
求由x轴、曲线[tex=4.071x1.429]hl4JpLynrxmqrmVdtohNfg==[/tex]及曲线[tex=4.071x1.429]hl4JpLynrxmqrmVdtohNfg==[/tex]过原点的切线所围成图形的面积, 并求该图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.
2
求下列函数的导函数：(1) [tex=5.0x2.357]X/CieCDGJ7iPQ3YFWuscHxHrcIE/dPFa9tFyiJXze8A=[/tex](2)[tex=6.643x1.714]Oj74y/L+OxY81QME5JWMcl+7PZ2FGQswwvjgVhjq1Dmb6dBU0oAjZBW7eFBVjqo6[/tex]
3
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]具有2阶连续导数，若曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的图像过[tex=2.143x1.286]q8d9ecMZwZI3gbdeOe+7AA==[/tex]且与[tex=2.786x1.286]90n4y476FwUeq/l3vI9sSw==[/tex]相切于[tex=2.143x1.286]kyjvwa76FcZEotT5IkEFYA==[/tex]，[tex=6.643x2.429]JytcvI6nNUknJqs+3HClpb/QJdozr49rVQDolAanbZg=[/tex][u] [/u]。
4
[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]由方程[tex=6.214x1.286]HGTClIERLxAl2/3/hxPeze5n9iOMYathD9+O9eiqRT4=[/tex]确定，求[tex=1.0x1.286]iORH52xPIOLb1OULnXzR2Dh7Ik56AW6asRgzyBFipaE=[/tex] .