设半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的球心在半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的定球面上,试求 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的值,使得半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的球的表面位于定球内部的那一部分的面积取最大值.

2022-06-12

设半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的球心在半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的定球面上,试求 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的值,使得半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的球的表面位于定球内部的那一部分的面积取最大值.

答案：

解 建立坐标系,使定球心在原点, [tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex] 轴穿过动球心,动球面方程为[tex=8.286x1.5]wofJuAo+7D4F3GsZPAFoxC0anOoIeSQB4uQyF5bBpCD1VVMyd65BLBTD+Yv5ODzE[/tex]与定球面方程 [tex=6.071x1.429]JfMnpkdfUBckNje06oWbkxcbwwnjZtQ7arKZ8nwuXJc=[/tex] 联立,消去[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex],得定球面内那一部分动球面 [tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex]在 [tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex]面上的投 影区域为[tex=16.857x2.786]cSCtjxAADwoxSHzW4HLzruklMwzk3EVWLcchmjJmXb1xM4xWvDz9KQH4KEVpmujrx4ohKxdlVainUOfezqRFa28PihUQeD8E9CT9fHVnkrs+I0nBaHkeuygWWIACTBBc0EZABuDadj/96V7dvlwx4Q==[/tex][tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex] 的方程为 [tex=7.929x1.643]evnTFblyHmq2m5cuWrgYZPgkJ+WijI1BlpbOKCI2y7k=[/tex], 于是[tex=16.357x2.571]IAOsIcSo2WPdZHpe+OnYJCcN3Plk9uvm+xaYpVcqONkA4u1kowMvQpyXK5PWVn7wgKEWEpC7re/rql09XGbafXCrY3DPQX2xT8PA8u25Re+WSfcPtDiXEagvMFLN9uaK[/tex][tex=11.5x2.643]ROdSMnpQzdNNV1ukYVXEiGWkRsEM/tDYJBxQLHdto061QW+uxMHTv7TXw2FkdvxRvUdopWO31Hixxz0nhF+jcF3iJAohU0HtihwGBJzHWXk=[/tex]则面积[tex=31.929x3.929]Rf/eepbgnnOndtZwkIp58F2NZsBhNiu8TgpGXdN8wGpwOw4bTc8+LQRNh4s6VjoPT93XGiwbzTOBkwXsOazk/S+soaomcEal/4A0qkbPEiwnW5yQ83XyR/PvoK0TV8Ph4WRXOM7+lOQH7972erezWOkSWIHQJ1xAeTSmJJ296NAsjOoc5uD+VfDgqX6e84H1avdAYyID0lYWTm4EiKz4lFyRTfog69L0+P2c7nc4pe6IGSxoe+gfC2Y2L2XRrNELV2N+35/uBdal3vEl71iW1rYrQZItEwDAdZIQTsI9tf7+Pfc75pPCPjLwgjw1S8G1uIapKsdzlo4EFvKvgDAUbuM8qmEb8FaUGQ3fzJdQKBY=[/tex]令 [tex=8.5x2.5]eHmJ6WkcVxLNZ4Gfz3qUftKSbjrvxCoTOW44HZuJSfI7ILHxCmXdM3cs7XYgVihpGjnHwg6zG387ObCljTSFT3sFuWnkr1g7fX0vi3uC8Wg=[/tex], 得驻点 [tex=6.571x2.357]iOrF4vRfV2FZvor4fTW5cbZfUqXPAnPgm/wYmQXaWWI=[/tex]由于目标函数可微,驻点唯一,实际问题在 [tex=2.786x1.357]P0xNrpcEMGJJdXXjsyFhXQ==[/tex]内确有最大值, 所以当[tex=2.857x2.357]lgFes+cQkZakv74FCAOyttZGsTZyubIWFI9yU+47h/U=[/tex] 时,[tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex] 的面积最大.

举一反三

内容

0
半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的导体球, 带有电荷 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 球外有一均匀电介质的同心球壳, 球壳的内外半径分另别为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 和 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex], 相对介电数为 [tex=0.786x1.0]UGTb3mBG6stcsgF+b5KCcN3tGbJwtAkNMdlfEq83jrg=[/tex], 求:求离球心[tex=0.786x1.0]5SeCOJOzMwSNbX8MGx2Qsg==[/tex] 为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 处的电势[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]
1
袋中有 [tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex] 个黑球 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 个白球，从袋中任意取出 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个球，求 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个球中黑球个数 [tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] 的分布列。
2
如图所示，半径为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的乙球的球心在半径为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的定球面甲球上。试求乙球夹在甲球内面部分曲面[tex=0.786x1.0]M/b3Tm4TfVvVYa87wz/CuQ==[/tex]的表面积[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的最大值。[img=189x190]177046c3ef1f5e8.png[/img]
3
证秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵可表示为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和.
4
一个半径为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球面均匀带电, 面电荷密度为[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex] 。求球面内、外任意一点的电场强度.