设半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的球心在半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的定球面上(如图),试求[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的值,使得半程为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的表面位于定球内部的那部分的那一部分的表面积取最大值.[img=212x231]17980d976a22d70.png[/img]

2022-06-19

设半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的球心在半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的定球面上(如图),试求[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的值,使得半程为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的球的表面位于定球内部的那部分的那一部分的表面积取最大值.[img=212x231]17980d976a22d70.png[/img]

答案：

设原点在定球心,[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]轴穿过变球面的球心,变球面[tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex]的方程为[tex=9.143x1.5]wofJuAo+7D4F3GsZPAFoxErnbbjEvEUbRTtmIpGVvOZXwDH6MWGrwDBouH3X/4tP[/tex]与定球面方程 [tex=6.071x1.429]JfMnpkdfUBckNje06oWbkxcbwwnjZtQ7arKZ8nwuXJc=[/tex] 联立,解之得 [tex=9.0x1.571]7JWvQ+nCDknkqqIK7b3QG4gSaJOnmxuu/ARgbS+y93xvym7TEiRoPa0yxHy6U6k+[/tex][tex=14.214x5.214]ifE9NWj3X6IpRVSt3T5ITqVTmzAwMdo9kkV5IuCu83ODAIDEWr3HWzstRmKyHPTN6Hu1fONiYXjSmL1WMnxw70eluk99hLrtrqbAY68z2I2ZTPyOgJkYBGcT773Y/ybOQ0EZz66Aq19q23Twx0Iq3Edc+TIn2mXMmuEQwMBuNDQV8EzYHIyoqIWbK1lwrFTPRFxwsX1Kh+L9/iNSlSeDVlCc1YU8AyPwAfoQDbR8SsNrFXw8usZfyfR/UplG4gX+[/tex]于是变球面在定球内的那部分表面在[tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex] 面上的投影域为[tex=20.929x1.571]oDYOeYD3s4JW5ZChf630EqHAaCjFBzs+q9o6VdYrPgmoW+YvOhuj0Ms1Brfpn1RKouOQbk5lj0dq4g6GOxsd+VD7c9VW/I0Qi/zf9O7KlVls66IMC67R35eXUIrwqusEzvoM6uLaFo9TlWMa5rZ+3fiavlB3BkpUzvVfwySHeVOSY1phbS54UqhtegjbvlxL[/tex]设其面积为[tex=1.071x1.0]KJXwUJ/dI0NQwC1mt67WfA==[/tex]由变球面[tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex]的方程 [tex=10.071x1.643]evnTFblyHmq2m5cuWrgYZEH9Zxi2OyHV4xZW42BvnZg=[/tex]得到[tex=34.357x2.143]uz3QNwNlW+AJ3yBrNyXaHZglwS+SL+xGM7BbnhhYFZVI1i6BrUvS6TBl57uWvNzszEAqsXacGexmQeuQaKhvKOTqyBJ49tNmemw7m9FhsemabcH8NO9JKCrEA7oYeD58NDqEkD9daFIJRhhZHLSHXrd3KnWpV0YLGjOIK7WGjiRA/o7+PaxoZwUiXutlLKVEaLXUwlNKyAOuF7cKArx5FeZJBDWaN5ZRRyoXszrmoS0=[/tex]故[tex=22.5x6.5]ifE9NWj3X6IpRVSt3T5ITjwJIr8wN6mMZ+eyAbz/MRSjqXMVvkWBFycc2LlmDT/xPqN53xRfVjDdUVSgZ92chVOUlZkrxYRbtQOxhYlKYbHrffrq3m7X05UbQKRSZ1iDk87VCsS/G2IQevP6TEfaXL83y739tYi5qr8vCrkU3PSHp59JEoBj3jB4RWEX268rp5CExkkQnJFHtUoLgw5oZ/aF7JpRyuRj7x0SrkYo3jyF3t8cnzGHbMHbhzATS26ufrAKxORn2vZEVSRAL4W9nThN+WxSj6MdjfwknvOnsbZS6kUKDaBDkyxXCGLTINgf2a0w4reUybrl8PM+UNwk8q4cOqqaQTyURRA0NKBiR1vEE1ev6oSyaIvG6FTTdbuD2mWKouEf2eQuZS9hFn4nTOOARpZm2wW71ZAfaWMIxWURIO5pvB3Qbmm3nxtWqP8LQed5gFuKZTp9qBavwiC6KA==[/tex]由问题的实际意义知,当[tex=4.429x1.357]pKtOtPKogsf7UQ0OEp/FKA==[/tex]时, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]必有最大值,令[tex=11.143x1.5]hAFoKfApca73nXKXIkUs3WVzOnTp7dNTdx1oT+zrIQbF/qHSHFqh6i3TKY+u3NAW[/tex]这是[tex=2.786x1.357]P0xNrpcEMGJJdXXjsyFhXQ==[/tex]内唯一的驻点,故当 [tex=3.857x1.357]jlNyqbJ1gmxt4qb+51z7zg==[/tex]时,球面[tex=0.786x1.0]9VwAJL/RcXaXLq8lMLzr4w==[/tex]在定球面内的那部分的表面积最大.

举一反三

内容

0
袋中有 [tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex] 个黑球 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 个白球，从袋中任意取出 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个球，求 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个球中黑球个数 [tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] 的分布列。
1
一半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的半球面均匀带电，电荷面密度为 [tex=0.571x0.786]KHE6aYFkrlyxxuvvfRVtTQ==[/tex]。求球心处的电场强度。
2
半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的导体球, 带有电荷 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 球外有一均匀电介质的同心球壳, 球壳的内外半径分另别为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 和 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex], 相对介电数为 [tex=0.786x1.0]UGTb3mBG6stcsgF+b5KCcN3tGbJwtAkNMdlfEq83jrg=[/tex], 求:求离球心[tex=0.786x1.0]5SeCOJOzMwSNbX8MGx2Qsg==[/tex] 为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 处的电势[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]
3
证秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵可表示为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和.
4
求证: 秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的矩阵可以表示为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩等于 1 的矩阵之和, 但不能表示为少于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩为 1 的矩阵之和.