• 2022-06-09
    证明:数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是一个位似(即单位变换的一个标量倍)必要且只要[tex=0.571x0.786]KMF8QHqVjNLkn7nK5uaSag==[/tex]关于[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的任意基的矩阵都相等。
  • 证 必要性。设[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是一个位似,对任意[tex=2.286x1.214]bddo54EuH5FuHYkC1DbRkQ==[/tex],有 [tex=3.571x1.357]iK/y6tMjCMtHXMHV+ngJF3uxNzrfUhz/upM6DvkR0ik=[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]是一个标量) 。任给[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个基[tex=6.929x1.357]vXf4SvBxl3nLLEknFH0tp7x1k0+ma6Zi4yl32C0r6uG8t9CWsQHibVa2Hxqp8vssHVSpfry/MqVbS54R+d5XFQ==[/tex]因 [tex=4.786x1.357]MeoZUcTDtP3yS2KcK07ySXdNQD9YkunRIIFe9N2+DqFbWuAEWNt8ar7ybA8KsBvT[/tex],所以,[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]关于基[tex=1.0x1.0]yxVkr8LkH7Y83+JuIra7eg==[/tex],[tex=1.0x1.0]5vfckb5Fh/s181aB3Qm07Q==[/tex],[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex],[tex=1.071x1.0]JpINJ7B6c472Pul9K1BbYQ==[/tex] 的矩阵为[tex=1.0x1.0]5kn/54flrYsvLmlk4SfkFA==[/tex].由 [tex=1.0x1.0]yxVkr8LkH7Y83+JuIra7eg==[/tex],[tex=1.0x1.0]5vfckb5Fh/s181aB3Qm07Q==[/tex],[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex],[tex=1.071x1.0]JpINJ7B6c472Pul9K1BbYQ==[/tex]的任意性,必要性得证。 充分性。设[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]在基[tex=6.357x1.357]4E9UulgFUlVP5BYE3s+NXvKBsK6yn5I4/5tw1JY9kdngWMz6dVRsOpUQAgmd8j4feHKnFg6BYK2AHV70T+WjTA==[/tex]下的矩阵为[tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25eXP9WG1ydg1JkO8kcv66I=[/tex],[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]为任意非退化方阵,[tex=14.5x1.357]hbhXLu6xaGETlG3y07/Wfugl68r4oDcd3Vmay1SFB+GEM5/QFRGUvOBEiFGeLHhJ2gdYgrnnLBP9EaAwLEQUxExPqi+gZQTtRBJLoEZ4N+53qXsKC2kwKGiYk/V1JchD381s5oVwYcTSLjb5zvlnfg==[/tex],则[tex=6.5x1.357]aTaKsqXm8aoRFg4p39sITFiffVZgfNOZ5QCqLGM21sQ4faDiOhTpSdX7MWsuTzvaX4swz0LT2Dy2CV9ZxI8luw==[/tex]也是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个基,[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]在这组基下的矩阵是 [tex=3.429x1.214]LGmB2WV3KIZ/hJQVBpr7Qg==[/tex]由于[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]关于[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的任意基的矩阵相等,故有[tex=5.0x2.286]Y8JzoWI34Uhhv6FXaeDA/yx1UXgTF4TOS1rxT07tLyRCz72HKwKWn2+ybv9OEV6I[/tex]即[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与一切非退化矩阵可换。若取[tex=13.0x4.5]VCAJN2K+KTFduC7VQsep44OeV0W8UrXKbz5B57AgMGnqQ5vYWwsSnQb6kKBZ27vkQyeJZJZZSMCMXuAq0dXrjQ+Ew1za8PWT6tSd6P1EItXAozxIPP4ysGDK28QBd5UcIOxwlhmqj7+BfdTd7vKOWt0x9ae7bxKfVbcMRzHz1y48MKHDXvMLZyTyiF7CiqIRc1URY9naT6IS013BPQGTIA==[/tex]则由[tex=4.643x1.214]5gLKTbas3QMB+nByrn31BDDkKDcURNICeaPQQyo/Pag=[/tex]知[tex=5.214x1.357]3xoa5FHQkmYm87xNuyiyfcLswtepEh0tjMP2ZegL5Mg=[/tex],所以[tex=12.714x4.786]No14tepOrgpLFcwU7iwUQez/wjXGt+M4WQUb/+dQXBjnvds/9WiZvQ2LBNCp82LosNdPxW/+1NRiYH+ZY8qvPpyPF8SB8SwRdGSLT4oSRi4SE1xxyVRxkfmnFOj6Zbv37sRXPBrRKPKkhWAK0jrCh3YvzM1zrfg68W1+R+ql9wqE7KJI3DY61sA6KGCHHhivvANx/RyWw0VpOsA3KcoYkO8g1p9DEm5fsLEdARV9kiU=[/tex]再取[tex=15.286x5.5]mbEqdD1KWcC40BqkC13H8M7D1qjVo8Ct3Vkn1tHui5ne+/jj5jCLDk2d3US6VXXb478pD08bTUo0vu7o5UTfIPQh8HCWWH9ghNLvoNeIFaODMXUlA7erktEaCTb+bSgAtShCtgUiR8/n9oe7ZQY4B+OjgfI/wDKAEnMb604g/5O7EUf6M/99Go7qeVC+G8kjRWyOtQpcbOtmniWuzrc1OvDJ3xP/mszEldo3fqa66zxXRi7EtctG2EOwKpVY0m8qQzN/hmNNPh270RlfTabdkw==[/tex]由[tex=4.643x1.214]jkgmdiEMjfxLwFNTnPZlAA==[/tex]知[tex=7.786x1.0]6PE5rkqHzkD1DcmVQz80GalrNcfdEAduXPCGfiRgv6Y=[/tex],故[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为数量矩阵,从而 [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是一个位似。
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    举一反三

    内容

    • 0

      设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的一维空间, 写出 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上所有的线性变换[input=type:blank,size:6][/input]

    • 1

      设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上一个线性空间. 证明: 若 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是有限维的, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间.

    • 2

      令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变,那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的,如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约,而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换,它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明,[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换,或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex],证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。

    • 3

      求下列线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的维数:[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶反对称矩阵全体组成的线性空间.

    • 4

      设[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维欧氏空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换,证明,如果[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]满足下列三个条件中的任意两个,那么它必然满足第三个:(i) [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是正交变换 ;(ii) [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是对称变换 ;(iii) [tex=2.143x1.214]TgWU2H60MCP3QWfASXhzm5k+rB3TVbcEtS5UyIB4RHY=[/tex]是单位变换。