证明: 若 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 为平面上封闭曲线, [tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex] 为任意方向向量, 则[tex=7.214x2.643]sylT6Y9dWdZ/DxvghRXRapmtORH1nRe9vGqo+X7mpwGU8At1xWYPt7vb0aYeV+Xo[/tex]其中 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 为曲线 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 的外法线方向.
举一反三
- 求积分值 [tex=8.286x2.214]vP1GJUFQ47V0c7FZFARBJPPSzJIiZBpnWJ2w4xe+jaA=[/tex][tex=5.643x1.286]wcy4luLARwktrHr5dqkU7Rf/1CjN2lqcovv+6Dqrd8o=[/tex], 其中 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 为包围有界区域的闭曲线, [tex=0.929x1.286]9yLabwWeyn0cMD+fIBc3Rg==[/tex] 为 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 的外法线方向.
- 证明：[tex=7.714x2.786]0W5nri6oRolSBuS9Rv48HOzKBKEFKU83y2ckCvBVZA6aCSv6gU45SHhpdWd8hosg0nlOejBNlJ8O8jalo9ri6Q==[/tex]，其中 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 为圆；
- 若 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 是平面 [tex=7.5x1.286]yEUlP7Orc5BSyUT2SL+dbT24yV3bKcoEYBA+dc2mCNtLGanudKCZuLGKvL790g5k[/tex][tex=6.143x1.286]GyWhCNb8ggePukUm5pM5HJnJ2m30sAmufFCf+dD8HCE=[/tex] 上的闭曲线,它所包围区域的面积为 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex],求[tex=11.357x3.929]tb83dmj5/J9S51nqN4jBEdl8880j1nY0pA0daDgh0JaE0qJ3Ygs+G1sEfkFKwT8Wp8Lw9udjaZDmU6p0NK7v2paHWXGRe6TGJywto3t2+LHkRdOgAmUvdAqlus7usp4D0dyZ52PRxXeI8Ed2FU4AOzZxpTV0lRqePIXsd2KB0x+xmr+sSg+foXPrwUgfj5yl[/tex]其中 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 依正向进行.
- 证明: 若函数 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在光滑曲线 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex]: [tex=3.5x1.286]I3I/gqfybdZ+6p4QGuTmjQ==[/tex], [tex=3.429x1.286]BCyG7pb4TF5yNfsV1FvaDA==[/tex] ([tex=4.214x1.286]bEM27tRoTwIn7IbC4iihV2GSFbs9qwkAV3J/7f/n7QY=[/tex]) 上连续, 则存在点 [tex=4.929x1.286]FWRdgLEQjXRVdYgx/pe5QxDQgPs2G+RZ56XpJDpe/0Q=[/tex] 使得，[tex=6.071x2.214]IDrAZr7LF51v1uavnG+kKxcxEO7XduW/jisGkNaCYMs=[/tex][tex=5.214x1.286]Jhzbz10DrHhh6soBCYyYSBIe72gx6ZyltbcI2RRQSTY=[/tex], 其中 [tex=1.571x1.286]GXLMJ9JFdztrCh1E9aVWzZFYHtMpzIOWeTK1tHoSaw0=[/tex] 为 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 的长.
- 设有向光滑曲线弧[tex=0.643x1.286]o5UjRnde85SzOZZLbSYZ8A==[/tex]在 [tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面上的投影曲线为 [tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex]([tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex] 的正向 与[tex=0.643x1.286]o5UjRnde85SzOZZLbSYZ8A==[/tex] 的正向相应) ， 且[tex=0.643x1.286]o5UjRnde85SzOZZLbSYZ8A==[/tex]在光滑曲面[tex=5.214x1.286]BYq3iptD4YA2ZSytB/IUxOsG3bxrYz6t2JPfxi1L+DQ=[/tex]上，函数[tex=5.0x1.286]h7D9akgTWC/YFLzijieamF+1ZZjOoq/M49xLYcpAE6g=[/tex]，[tex=5.0x1.286]M6tK6VtiJBnp8m8nRWaq5gDWJCxwO4ftEuGFAYg4I2Y=[/tex]，[tex=5.0x1.286]z9kbhTtCDPelPMm2FdkbNjwHEBwsSd6HkQL4YCQeQ0o=[/tex] 连续。证明 (1)[tex=14.571x2.214]EGRJDgMGadWW/SPvvoIo3g/d+bH/Ec24s6gUIkNZ0n9x7q7pZZ93FJAJplnWZnE04G6GArkLTgbn2IgrqJmsmA==[/tex][tex=21.071x2.214]8MPJw7gok5g4++q0MoKs6mO2IVs704OURUkwNwji4Qz7zgZ7kxcRlXfKQtl2WSzdVyB6shiCGDmI7Nmpu+1Btj071i0C6nNORNp+1VBQ9oetunfOzyer6Hh49OtnqAXU[/tex]；(2)[tex=24.071x2.214]qpaoJR+8CIzAOBT18Pr7MwiAHSnh5ocw/xeNwmbGHmJtzg4egxZIKWH0ySZAdIqBZQB/m9cKdPMoIzo+n0HEbj9khubyAUwETS2ukCZQZQvM/C3uW5We5U4n0D37RmnOK6fqtZ4b++EVxev1FpAT3QYw2RW0fbWL2bFkTF0j8Ymnnj0IeV5AjGuWdDCzX3Q1[/tex]。此题意义为: 将空间曲线积分化为平面曲线积分。