试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上的可测函数, 且[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]中一个稠密集中的数皆是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的周期,则 [tex=3.357x1.357]OhxXs/wXe53/MGbhvJlqfQ==[/tex](常数),[tex=4.0x1.286]EYZqjowAIHEF+IHLJgiaVWUKVlK1V0I6YL/cqhHZuhw=[/tex].

2022-06-12

试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上的可测函数, 且[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]中一个稠密集中的数皆是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的周期,则 [tex=3.357x1.357]OhxXs/wXe53/MGbhvJlqfQ==[/tex](常数),[tex=4.0x1.286]EYZqjowAIHEF+IHLJgiaVWUKVlK1V0I6YL/cqhHZuhw=[/tex].

答案：

令 [tex=12.714x1.571]G3aaLDJVZwK9S0XCGLICp4SV0bI2rtQ9uTQ989/zAcS6UT54lZ/1TBRnUPOfi7XV[/tex], 则 [tex=4.286x1.357]LnC4RijrcApjQiSx9/k6eQ==[/tex] 且其周期与 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 相同. 考查[tex=7.429x2.643]NUejp42qFo7pn6NYF6wfa+icOFBR7oteqcFLTP57aSI=[/tex] (注意: 若 [tex=2.429x1.071]bWluxGx0vMDbeS8w2xX05A==[/tex] 是 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 的周期，[tex=4.714x1.357]Wif0skZPLFHLdfClFIBFAVRGLxps5rGj5hqB3o9UpcY=[/tex], 则[tex=18.143x2.857]pKRu5Ji4+ufAsvdF2SWZqov4BQKkb0Vpa9a3srvEznpkbYfZWFiVp30ffBd6h2udO+XxHkB4xxrA3/wS/BJZqQ4v1257a/FWnDOfSP4MPAUkp5KI2rDlNditzwZ9ak8DY/11UaQQL/n3BXS+FQ/IVhT2jd3BuHPfdpmm8Ihc0d8xkQYHbiuubFkO6COn4rVXLsmjA5g3LS7rBNlei1JN4w==[/tex].对于[tex=1.643x1.357]dVY93ll8VMQ0iaNbw05kQQ==[/tex] 的周期列[tex=8.357x1.357]gbR7/2q4uYjmOwkFz5JAJ/9/rXtXv9Cj9jqE62+XPtvdv+1sDMTAtTLnTEElWLOM6JB6544rM4AIF/8Yx8uIQktg0A9O1VYAXTU8Ab8B2Ig=[/tex], 我们有[tex=13.429x2.571]AXMyzCX95Mqr1jBORE6XlmEvqmtZYbIt14T+b/wVtjtCPg2ma9H6H5szLGgAUwZg+gTaZ+NDIjpLSBIFvJBYN/tFQRjXRG3vK2FAMHCTBkc=[/tex].令[tex=3.071x1.286]p1DG6mX8msE3sGnMEAQzJ1M93Xzp/+HYTloojm6Fzfg=[/tex] 可知 [tex=11.0x1.5]Kp5f6bS3jhsgwS31NdaP6ooX6aTWnAfcUX5BD6NIhMGIw/ENODlknz4yo409eWoBVccFLma07cLxwYd8E/nB/g==[/tex]. 由此即得所证.

举一反三

内容

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试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上满足Lipschitz 条件. 则[tex=2.929x1.357]caiMPTPQ+q4cVnb/XIYcZA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数.
1
解答下列问题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上几乎处处连续的函数,试问是否存在 [tex=4.143x1.571]I3QNz1u0zb92aVDPC4uerk85eYTSYYkMLz9OWYfzVgY=[/tex], 使得 [tex=8.857x1.5]4S8ZjUC9O5UMLmle+7RYz3wJ8ctcrX8zCSviuthYbn29AXa6o87BpKIr92N58Mps[/tex].
2
试证明下列命题：设定义在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上的函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 满足:(i) 若 [tex=3.286x1.286]5gyO9FLqZe7sQzM/KLcuvrUaxZIGaEZhhTjM5vNQMyk=[/tex] 是有界集，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界;(ii) 若 [tex=3.357x1.286]rxiGezXaErcpxoYhy8gk09lbCSIF3UuYKydOrcXaWpQ=[/tex] 是紧集,列 [tex=3.214x1.5]t3hzH2c/neO4Q0OupX/1BQ==[/tex] 是闭集, 则[tex=4.143x1.571]eSBAw3ddS33i4HOhDJIk6wxC0WBO11psSM3QnzwD9t8=[/tex].
3
试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上可微. 若 [tex=8.357x1.429]F27M+tMBWun73FG3D7wgFf6yxrSuQhl/hcXjXKuAY6T8Z5IR9t8e2kKqcx3rNmc0[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上是一个常数 (函数).
4
试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上具有介值性. 若对任意的 [tex=1.929x1.214]GXHbBXGYsMVmIySBtW2UCA==[/tex], 点集[tex=7.286x1.571]7t3piuRWZKIAwj0cup7eSzC2aCtoOZqP57/1+OdzVn6HNoLN6CFRxbXaEnF/TBtH[/tex] 必为闭集, 则 [tex=4.143x1.571]eSBAw3ddS33i4HOhDJIk6wBBeF14e8wMY8R5W9XALSM=[/tex].