将多个小球从某点以同样速率 [tex=0.857x1.0]wNKCIalimEsZVy6seQVLKg==[/tex]，在同一坚直面内沿不同的方向同时抛出。(1) 试分别用直角坐标、位矢表示抛射角为 [tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex] 的小球运动方程，并求出此小球的轨道方程。(2) 证明在任一时刻这些小球分布在某一圆周上，此圆周半径为多少？

2022-06-12

将多个小球从某点以同样速率 [tex=0.857x1.0]wNKCIalimEsZVy6seQVLKg==[/tex]，在同一坚直面内沿不同的方向同时抛出。(1) 试分别用直角坐标、位矢表示抛射角为 [tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex] 的小球运动方程，并求出此小球的轨道方程。(2) 证明在任一时刻这些小球分布在某一圆周上，此圆周半径为多少？

答案：

解：[img=296x189]17960e8501d64ba.png[/img](1) 如图所示, 以把出点为原点，水平方向为 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴，坚直方向为 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴，建立平面直角坐标系。由抛体运动知识可知，小球在水平方向做匀速直线运动，在坚直方向做匀变速直线运动，则直角坐标系中小球运动方程为[tex=12.714x4.071]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyh+srckoFEJhsEo7DPXjlrYwjrLmYMg6i1G3C3FUCHlb3YzfEavS0BxhEAgrViS7ZnRaaNoE6g/2GV0WsvsnEjrvWgKgpdeDHb2kcdwaK/M6QBIOlUh+k/wKsyZ9DvuefLYHLZNQBtnjNp1eHoRr4SvhXHz1wAe8bG9LjWwc7DyW9nNbqWMjETJOQcQWkr0SIXphSACooelC3QLUfHLgiGk=[/tex]用位矢表示小球的运动方程为[tex=4.643x1.214]xuQepnfF3lC4sujsJfITlRqtO4XBV6tGRXk1AUrwuBI=[/tex][tex=5.429x1.357]CVRZbkhE1fEm5VCYRWJavWgbBq8DxUJATR7kpIM/rzo7MUvc8sJU3tndFGUy7YgB[/tex][tex=8.929x2.786]roT/fFT8y12t058RK8DMD9rTMtvNeyuRAX2On7/VhQGZX2pXt5+0XbXvSQkZwBbCCyOlFDvK+6D2KuXvf2tvzL6psF4GR7MB2jJ74/hIULQ=[/tex]将式 ①、式 ② 中的参量 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 消去，得小球轨道方程为[tex=10.357x2.429]Z4/iSiJMNagOte6y5NBe8AoQwmTzvI2Bi6lzs5ZiDXIJEFXAwD7vZGrF+QZPOxGwZsb8Josh+j+f90NbqGvdvFqBnkNBLwB29N7QJvYcEjA=[/tex]即小球运动的轨迹为开口向下的抛物线。(2) 由式 ② 得[tex=8.714x2.357]C6KwAiv2St2XVj9dOonL7YsOtMyXj0LOhNEl6mEFKu1skB56REOsYnxE+bvUHgbKZ2Kdi1bpijFnDUfLhyH5NA==[/tex]联立式 ① 和式 ③ 可将 [tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex] 消去，得[tex=7.357x2.929]E9K+rf5i2oEBxScPBLdNJuWc9ZKf9E0nTKHBmqFK5BZm5GM07Emj/YVvwi/u1NsLcNHzzijZiGHLoWXYdBytGQ==[/tex][tex=3.357x1.571]08TUO/2ApkNDxfjclnw0fkebt6TO/jVacBv5wibRqpA=[/tex]在时刻 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]，上式中 [tex=2.143x2.357]2p9MK78lXmO/ZZ4y8F2IbsBzDGprozZZDGLMNdmBpY8=[/tex] 及 [tex=1.214x1.143]x22oxwOWSLF/7iM3YuXVIA==[/tex] 都是定值，与把射角无关，这说明以不同方向抛出的小球，任一时刻 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 都处在半径为 [tex=1.214x1.143]x22oxwOWSLF/7iM3YuXVIA==[/tex]，圆心为 [tex=5.357x2.786]IANwvhH0nxj7lkV2+6KwLSnJ8ezM8p/OdPKL2MMM9xIMdJSOjLJAoG3lZx7BOPCb[/tex] 的圆周上。这个圆周的半径和圆心是随时间变化而变化的。

举一反三

内容

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长为 [tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex] 的细绳的一端固定，另一端系一质量为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的小球，如图所示，小球可在坚直平面内作圆周运动，若将小球在最低点处以水平初速 [tex=4.571x1.286]sizSL5pfjoKitu06V78DgNOrPstOXRJk9oFFtOmxijY=[/tex] 抛出,求小球上升到什么位置时绳子开始松他。[img=157x171]179688dc28d6282.png[/img]
1
小球连一不可伸缩的细绳，绳绕于半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的圆社上,如图 12-3 所示。如小球在水平光滑面上运动,初始速度[tex=0.857x1.0]wNKCIalimEsZVy6seQVLKg==[/tex] 垂直于细绳。问小球在以后的运动中动能不变吗?对圆柱中心轴 [tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]的动量矩守恒吗?小球的速度总是与细绳体直吗?[img=223x221]1799d9de68f75a6.png[/img]
2
一小球以相对地面为 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 的仰角斜向上抛出。小球在最高位置的速度为 [tex=4.857x1.214]yLPXx8BzxifeZ8Ll+mNx9pN7kkAQjMk1hC2sryp2b+o=[/tex], 落地点到拋出点的距离为 38. 2m. 忽略空气阻力，求小球的初速率和达到的最大高度.
3
一单摆，其摆线的长为 [tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex], 摆线下系质量为[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的小球。摆线的另一端，可绕点[tex=0.786x1.0]5SeCOJOzMwSNbX8MGx2Qsg==[/tex]在坚直平面内摆动。开始时摆线静止于水平位置，然后自由放下, 如图所示。求摆线与水平成角[tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex] 时, 小球的角动量。[img=384x266]17ac26421987016.png[/img]
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长度为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]的轻绳一端固定, 一端系一质量为[tex=0.857x0.786]qWVpqmaNKshsMKg63rQf8Q==[/tex]的小球, 绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为[tex=0.571x1.0]ufCrI+H3fQQgAwLktBRXuQ==[/tex]处有一钉子。小球从水平位置无初速释放, 欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈, 试证[tex=0.571x1.0]ufCrI+H3fQQgAwLktBRXuQ==[/tex]至少为[tex=1.643x1.0]FuHKIydWmywZJI4y5TTUqw==[/tex]。[img=373x307]17f67a8e0df20c5.png[/img]