若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内解析,并满足条件:[tex=3.357x1.357]AryK/IWG/UUzWzvgkBiwSQ==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内为常数.试证[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]必为常数.

2022-06-14

若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内解析,并满足条件:[tex=3.357x1.357]AryK/IWG/UUzWzvgkBiwSQ==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内为常数.试证[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]必为常数.

答案：

设[tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex],由条件知[tex=5.429x2.143]Ia4v/sB5y+deGnIpfS+mTJJ7G8ZBY2KddJz8+mSSs4Y=[/tex],从而[tex=5.714x2.714]+oaIJbhU7D1AGkwUJiqPkXn0a4NfCPpfO3dEBrg+dlySqe0LZ46ij0JSPJOWv2RV[/tex],求导得[tex=9.714x2.714]TlbE9t2XI+whhEwSfQY6OUYmlbdVwLoM64fwMrS/+nIea3joOmORUVfcqQqpxHblbADYL+ILE1mo92c49JaAdXkaaeJcEd3N2OlJSsCf9RXozJ+QyBuc5Cx3dEnLng+q4mzERPqE39AvlP1gLyO3MA==[/tex]或[tex=10.0x3.286]TlbE9t2XI+whhEwSfQY6OUYmlbdVwLoM64fwMrS/+nL3x4+QcWRtTweQ3QybMKmAIe3Xs9RXgGKtMRJMXc409l4Xf1bGTsurrfkyoJj44F/Kr6MZiNaItxJW16jR0lxVTh8Vno0OI5mF9bz878YtEA==[/tex].化简,利用[tex=2.286x1.143]HdYyg5b48Yj0C/d8094Mqw==[/tex]方程得[tex=9.429x5.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz+O+6JJavxoxgB4QoJvce/Z785dCNjmT2ZwWvOGG360Ln4j5HvK2gz+SZwUFwvKRJn9Z5Z58AociQF00t5usmt6fMFPt5fAFGiMNQmM4aK2n3vSNIwgQvJ1oxaLlDBw4vbA1x64bnzn+wJENV7CR4nS1QC1ZYa8K81++IySiQ2ZyenoIUZb58Ro9u0e+8yDjmqRzC1soFh47LXoon1BGUOP75tcLFZsbFdPxHKPfLpS+[/tex]所以[tex=5.286x2.643]9tO/e5DyKRkzg0MpCtFEorxsYgY9NTXGHrOpUXmjFzHLo7TXD2EQsi7tRJ3ZCpdbEAH7Q077C59PfrdBBYCc8w==[/tex].同理[tex=5.214x2.643]OTYtdAptVAXC+ZYqi3USUHaUR1sb1If/SgH7nqE4gB1006e59xCfuKGHxAudHsS5wnxoY34XIODjWYqTAXGOaA==[/tex].即在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]中[tex=1.571x1.0]7Dm1vXmQxqmvi3y/tuAGKg==[/tex]为常数,故[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]中为常数.

举一反三

内容

0
若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,且满足条件[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内必为常数.
1
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数. [tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析;
2
若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,且满足条件在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内[tex=3.357x1.429]WJT7Xk2N4K3slg6ZvXy4AU6JlmMPrG02pWlFhfUp5fc=[/tex],试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内必为常数.
3
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
4
设函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]中解析，问该函数在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内任意闭曲线的积分是否都为零？