若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]解析，且满足下列条件之一:(1)[tex=3.786x1.357]y8jXXo634iABPGCwehjrlg==[/tex]常数; (2) |f(z)} 是常数,则[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]是常数,试证明之.

2022-06-14

若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]解析，且满足下列条件之一:(1)[tex=3.786x1.357]y8jXXo634iABPGCwehjrlg==[/tex]常数; (2) |f(z)} 是常数,则[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]是常数,试证明之.

答案：

解(1) 由f(x)[tex=3.0x1.143]pL60BNeoBugVQVPXvaUQOA==[/tex]和[tex=1.357x0.786]aIsn+60mE0BfD4xeA2+RpQ==[/tex]常数，利用科希-里曼条件得到[tex=6.429x2.929]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAzxP1sISe7quH/6QYz0xBGfoqlqjJ2c7RgE7FM3hdQekCcIxJw3jb272fSljz5jWXNpn2RFMggT0qNH5o93nYwu4=[/tex]于是[tex=1.286x0.786]CMGcCal8Qfpf3nT6EVXM2Q==[/tex]常数.这就证明了[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]是常数.(2)由[tex=6.929x1.5]V2Hvg9uEkHsxpWhvaeH3CsYrnH7q6GZAr5pjzDbwUgo=[/tex]常数,对x求偏导数得到[tex=4.929x1.214]QuuWA6+AaCDWcNH7AA0hEMSJYXHOjg58FR4oiHWH0D4=[/tex]对y求偏导数得到[tex=4.786x1.286]vlcTYM6+NKwU9MpZfI1QRP2dABFz+4ZNig7y9pm3YF0=[/tex]利用科希-里曼条件[tex=5.143x2.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz6HIyBXTdfznz6kCt5wY7bYjvXBW3DH5KN2hClUWhHu1ihOdaPxs4h3MUCvoxp+9gXMXkaaAWjHgF6P10+0cEiw=[/tex]得到[tex=11.714x1.286]djSXu+lhVruSDmvPqcbmeSDs6KBHBpSrci2x/gMa2+sj7Y7RAig/3Pi6NSFmQmxcfp/q17KMFl9bBUeR4xiNbA==[/tex]于是，将u乘上式中第一式,用0乘第二式,相加后得到[tex=6.0x1.571]PfDL79AZ6MiUq8JaroN85AIxut3+ugKi/sA0J+fJzHWKA2RItAKOlNIkx2iMaBLN[/tex]问理,将[tex=2.071x1.357]HjIALqh8weHLGfdvsyQYPA==[/tex]乘第~式,用u乘第二式,相加后得到[tex=5.929x1.571]PfDL79AZ6MiUq8JaroN85OCAlyae65BzkCam9lpQkcmrnoyC0Y0UU5Pw7Qucgm19[/tex]当[tex=3.929x1.357]/YEvWg3vBuKjXBVvoqBS/A==[/tex]时, [tex=4.286x1.214]QHP9r92g4HW2c/0kuquvPNaOnCo1/jPWEmKwQrWNJdc=[/tex]故[tex=3.071x1.357]tzvvkUnXXv0XBiWdGtmZlA==[/tex](常数);当[tex=4.5x1.429]gxiF/lOmz2ujnfptvcqhpY9huYKmYbhFclkGG11CTR8=[/tex]时, [tex=4.071x1.286]K53NajboUjcNJXQO/8Rw85NQ+G+s50O6xc/8dBg4xAo=[/tex]故[tex=3.071x1.357]tzvvkUnXXv0XBiWdGtmZlA==[/tex]常数.由题(i)得到,[tex=2.571x1.357]2fKsw9JvxHd/dFlUTgUu8Q==[/tex]常数.这就证明了[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]是常数.

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]中解析，问该函数在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内任意闭曲线的积分是否都为零？
1
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数.[tex=3.357x1.357]9yrqPlAZal6st8/wp2Wd1w==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数;
2
若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,且满足条件[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内必为常数.
3
设区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]位于上半平面，[tex=1.357x1.0]UFRizq9gnwkyuNYYdnUegg==[/tex]是[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]关于[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]轴的对称区域，若[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内解析，求证[tex=4.429x1.571]v8DlkywgR/r+yNcJMZ93B3lKrNJ8mx9O5wISkdBDtYg=[/tex]在区域[tex=1.357x1.0]UFRizq9gnwkyuNYYdnUegg==[/tex]内解析.
4
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数. [tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析;