证明，若区域D内的解析函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]的模为常数,则[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]也为常数.

2022-06-14

证明，若区域D内的解析函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]的模为常数,则[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]也为常数.

答案：

解令[tex=9.214x1.357]j2f1BXmONYPEiHJ80lVHkyOWth1Sdw1UKfnLPn+z7A8=[/tex]则按题意,有[tex=4.929x1.571]ZJq/HW8qlp80ewaqawdn5sVMnPGev6hlpriNR4pgI5g=[/tex]（常数）即有[tex=15.143x2.929]gCY/iAehrLEDrnZW89qHhQpLPbkS5X3pO600YQbv/qVzTLezJkGbr3POu1/8uYxXFZoFaPLPtEptvyZeFB3KRqC5jGdXpIhv1xdF84gsj93iORe4d9+/dH4pSXykE3Qr7HBeqZVOcOVAH+CRuN92aGGXW6wLolaiSzZWsWM7EqOoCyl+TjAsNCUUI86D4hYVZY5/JLRwd/6TU1lsKsMquY9AqZreybM1gEMZsP0DoAE=[/tex]于是[tex=6.5x2.429]P+SuQl31CAzFtwzH92qKX0njdxUn7uzkRqRwrOIkuIJvWaXD0NYj40QDvIAnt11RjHybMDnWUHF0re5XE77yzwpdlsKsO0gAKrSJGfIAUPA=[/tex]同理[tex=6.429x2.643]P+SuQl31CAzFtwzH92qKX0D0l4oo2fgZvz7xu79ITYdaR8dkwyXSWo7EyaXkm7QkLH0+qUe9VCIjo23+jMF3CSOvstoqxiUwO3MYePnM03w=[/tex]同时,按题意;[tex=1.857x1.357]3CEDCVFhyCQ/9jtQvaz3V3HQ8bMbUL5NZs+uK65IG7g=[/tex]在D内解析,必满足C-R条件[tex=6.5x5.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAzwWskHkYW3pO4L9W/DfMamEcTajn0dQ/EvlHrLZ4tGxiVelqAFVnw2lYLJ4i3ZUv5Taq7o9GiZOI+PuHGPwnFHH0MW7Ir5E/Q5TZ4Bd+FmwV8KPdWsgpSILprBLSloM73JatbvQ0Kcydm2q25npGVLirEfRoZMkZLZBNxQuttHCW1uWHQNZVHb0LtePZlLZiYrKmBEwvSLvuYcj0BLUB/40=[/tex]这样,我们就有[tex=10.143x5.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz4X0fO8aDR6SEWtHMk6XKzOK/oJToj6ET165l20V4mxNhDJFE4qrMzoMVE3ogH96kXXfhTiByVKy5ze7xXzRFGz39M3+QRcZX1CrWCxzoaJJ/MFXhfRAS2NBP01CNRGImdWKRUZnBOb8tQthn+8qn78GtL8lv7VMepfuVryUlbJgB0zsJXnKv6TMz5PFEVEXs8PL3z2cEMZ/oGmfJib462pVD+SiOu9TEb5NEhZkT6vQ[/tex]若[tex=4.357x1.214]iAKXHlZ75KtAaQt5d+vvAyd+vgksXcEOqnmIknanoCs=[/tex],由[tex=6.857x1.357]oQcuaR1cjkE0EXLmXoy/r6zcUS2c0Nkb4ub8pqYvooc=[/tex]得到[tex=9.786x2.429]PfDL79AZ6MiUq8JaroN85NbFldTHCx3ZCSn//hpQe2TU1Gy3hTOOhrX5/QGdStdSH0zGtBGuvc9AuCTmIzKwR1Mjp76EUQ95CN2oybKdgx13DfBG7YX23GrfFu232ZUr[/tex]即[tex=2.857x2.429]9tO/e5DyKRkzg0MpCtFEotrMopnYKvOrOQuPrHF+kGE=[/tex]将之代入(1),考虑到[tex=3.357x1.214]XToSZ0Ftrxov5J+SZmRiMA==[/tex]便有[tex=2.857x2.643]9tO/e5DyKRkzg0MpCtFEomM6n4wTuxMhe9LZHYfXKZo=[/tex]可见u与x, y无关，它必为一个常数，根据上题可得出v也为常数.所以[tex=2.214x1.357]6NJM2yflvzKVWLOXODZpPg==[/tex]为常数.若u，v中有一个为零,则同样根据上题，可证得[tex=2.214x1.357]6NJM2yflvzKVWLOXODZpPg==[/tex]为一常数.总之,若在D中解析的函数[tex=2.214x1.357]6NJM2yflvzKVWLOXODZpPg==[/tex]的模为常数,则[tex=2.214x1.357]6NJM2yflvzKVWLOXODZpPg==[/tex]亦为一常数.

举一反三

内容

0
若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在上半平面解析，则函数[tex=1.786x1.571]C/Fe33T5Zzqw+84CkNv8YQiQHgduWsdm7L6+mcRD7kA=[/tex]在下半平面内解析.
1
证明：如果函数 [tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex]在区域 [tex=0.857x1.0]ofIiYl/HFo5Sh5/9yqVkow==[/tex] 内解析，并满足下列条件之一，那么 [tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex] 常数。[tex=1.786x1.571]8JGCENWlkATw38GxlnmT3w==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex] 内解析。
2
若 [tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex] 在点 [tex=0.857x1.0]L91fLECGtZ9/j0P1eFQhnQ==[/tex] 处解析，试证 [tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex] 在点 [tex=0.857x1.0]L91fLECGtZ9/j0P1eFQhnQ==[/tex] 处连续。
3
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数.[tex=3.357x1.357]9yrqPlAZal6st8/wp2Wd1w==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数;
4
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=2.286x1.214]RRP8eUK/dGSwgdOSsCTx8g==[/tex],试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.