设 [tex=4.429x1.357]oqaxMU7UPJdY7v/8BiumQA==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 是数域. 分别用 [tex=2.357x1.214]b+19PhVr4qu1uqfrbbodNg==[/tex] 表示 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级对称、斜对称矩阵组成的子空间, 证明: [tex=4.286x1.214]nNSmDyf/r65Ge/sTLe8HjSAf5z9Jz4xszgdlGauZLfw=[/tex]

2022-05-28

设 [tex=4.429x1.357]oqaxMU7UPJdY7v/8BiumQA==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 是数域. 分别用 [tex=2.357x1.214]b+19PhVr4qu1uqfrbbodNg==[/tex] 表示 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级对称、斜对称矩阵组成的子空间, 证明: [tex=4.286x1.214]nNSmDyf/r65Ge/sTLe8HjSAf5z9Jz4xszgdlGauZLfw=[/tex]

答案：

证明: 第一步, 证明 [tex=4.286x1.214]CMOi1oQ2Qqac5KwW00IE5RB+OBa4qmJw5SUandB7c3k=[/tex] 显然 [tex=4.857x1.214]IG3eiwsG0EO5ZjJxvR9AeO3sydOyiUwUTfOrRqjDdGs=[/tex] 关键要证 [tex=4.857x1.214]zxOBKeM1trjk9YNQtCnMp48vMlBCR6LUCy6xN2JEl6I=[/tex] 任取 [tex=6.143x1.357]Nna2+6SNYTZlRVvJLgbZo1wUU1Z4PUOScSTXuofOaUY=[/tex] 有 [tex=10.929x2.571]xjho8QHsOsamzP1fq0JYulKLtlX+RaOPBKAwHYEpiHMvjUPlv2wvqhBBuKAag0m4jM3xxZ+nRSMuxSjleDHYSFnfc6ATvEnrSLu9sb1foYU=[/tex]容易验证 [tex=3.071x2.571]vcyeVspyhpb6rI/o5yyWRAVPEE7cDAxwb1KbUOVcSCg=[/tex] 是对称矩阵, [tex=3.071x2.571]zfIO7fTCIU7qfLaz38ar7UxDdXizJRDeEaIAvX9XYfk=[/tex] 是斜对称矩阵, 因此从 [tex=0.5x0.786]uwLnkm/k8ceLTPulsQqa7g==[/tex] 式得, [tex=4.071x1.214]lWzPrfjmJUEc/37dGZQORL1cXF+t0c4BSvvse5T3se0=[/tex]. 从而 [tex=4.857x1.214]zxOBKeM1trjk9YNQtCnMp48vMlBCR6LUCy6xN2JEl6I=[/tex] 因此 [tex=4.286x1.214]yCtwGRVKouTK2JDkEv8jZn2siofrhGaOqEPD2kw9BD0=[/tex]第二步, 证明 [tex=2.714x1.214]k2Nqo1O2YepaaY8KxcGTeg==[/tex] 是直和, 为此只要证 [tex=4.571x1.214]E4/5bEM/N/AG9AX2WxmUlCq7NhoCAMU8FDlXhEShgys=[/tex] 任取 [tex=4.714x1.214]uiA86TnYgob31m6tqDW1IuFupUigDBfX7y/ScCwnGl8=[/tex] 则 [tex=3.214x1.429]YIT/rDa9SGYnY3YakGKlRYJcIP6Wlr2gdo1YBhp5V0g=[/tex]  且 [tex=4.0x1.429]YIT/rDa9SGYnY3YakGKlRa0V+VU/DVdP0dRIN8bkljg=[/tex] 于是 $B=-B$, 即 [tex=2.857x1.214]BAQ6QmTTHIOs12lyvcsBWg==[/tex] 从而 [tex=2.357x1.0]sGswRDlfusj+QbmiREA8IQ==[/tex] 因此 [tex=4.571x1.214]E4/5bEM/N/AG9AX2WxmUlCq7NhoCAMU8FDlXhEShgys=[/tex] 综上所述, [tex=4.286x1.214]Wtrq/pnqhpeP6zWIiv3pgGJFhnTilHoJhyJSbzS3BJo=[/tex] 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形.

举一反三

内容

0
对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
1
设[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵，[tex=1.286x1.071]mcwpV0HZfcjUtysCWsv1bA==[/tex]是[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]的伴随矩阵，则未知类型：{'options': ['[tex=1.857x1.357]nB9mNOUKcr76IIi53ZsfkPx95v3/3E645aqs9iEzs/8=[/tex][tex=3.571x1.5]QSzDgFULXmCzbnmgEKrb3Zn8OXSEBfVdfe5eF4OBDmc=[/tex]', '[tex=1.857x1.357]nB9mNOUKcr76IIi53ZsfkPx95v3/3E645aqs9iEzs/8=[/tex][tex=2.214x1.357]vrsMnV55RRlJmEBE2zosJkkUD5j7cS8a2dnYwhxzauA=[/tex]', '[tex=1.857x1.357]nB9mNOUKcr76IIi53ZsfkPx95v3/3E645aqs9iEzs/8=[/tex][tex=3.357x1.571]7uRzEjzFjrMzO+xZBgb4yXULVEvsDm7HHXd6y2aKp/abu5FwaB3E1jiJHen+pNR5[/tex]', '[tex=1.857x1.357]nB9mNOUKcr76IIi53ZsfkPx95v3/3E645aqs9iEzs/8=[/tex][tex=3.143x1.5]/EaSgzJ4qZa3HYxz9e+RnoxEjoZ/OCot5p/Okz3sgoQ=[/tex]'], 'type': 102}
2
求下列线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的维数:[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称矩阵全体组成的线性空间;
3
证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级矩阵，且满足[tex=7.286x1.5]don22hM0FLkfIFASwvstacWj4l9ufYh2zpqW1mHjUjA=[/tex]则[tex=3.857x1.357]MSvIjHOmBElTvuTQXmtV5w==[/tex].
4
求下列线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的维数:[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶反对称矩阵全体组成的线性空间.