设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：右[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模的自同态环[tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构。

2022-05-27

设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：右[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模的自同态环[tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构。

答案：

证明：设[tex=5.714x1.214]Q0+VpUTeTfiLosGpMDSt6EGfrbxag9pkjhi01ZN9mnaz4zHvegwN8fqhwI0hTqir[/tex]，[tex=3.714x1.357]vjH04rNiGupuDSHgGeNCleerGfMkXzV29RYQ+LYQD8I=[/tex]，[tex=5.143x1.357]j46MrLToptyPVaXxULp6t4yas0TSooElBSom/FI7cgM=[/tex]，又设[tex=1.857x1.071]H3mbYLdkBs7RcNzQtFHg/A==[/tex]，于是有[tex=10.357x1.357]5lNfBHQCVxbqxQqM5dF+x6jRbIXOPQPVU95Frt4mG3j/DMqiH6wySpHb4db1cDexboFNPc4c7QRcwQ4GIef8GA==[/tex]，[tex=10.357x1.357]dUknacZgpgHV9VRDkepZQCY+km6mSqM4fdWG59cTS9y2YlcezJkFaHvt+sLrxHZy[/tex]，[tex=15.857x1.357]le5gFDBu/ipIMArWYqCVY8/+AItOV69Y/uNoqZ2dNJCdv6SbMCTPpDGKC61QZwtoNL3nDwkhxmHfbOJkfm5fBFN9ba00Fwf6vTqpcYKio5o=[/tex]，[tex=11.929x1.357]+Ak5zK9UCRluJ9oNTZrVaTQdsU3QGTiu7mQGVlGOvkuUZGvf/VTHVXqznbJgCkSVwgeKiEkzg53/F+nzOAoTgPiOludH6thHHvmimqwYs5xzb0o68ioVUVNUdKBneF9g[/tex]，因此[tex=5.929x1.357]eua7HwXWWXxG1gHnIx+vuWg+bbfmzqVr+B9EfbYvkZlcLThyPeQYTUAuuYC1fDk/[/tex]是 [tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一一的同态。又[tex=2.571x1.071]C/U6swDOKzNEB37J11MOysevRXVaBQP8dCmH5Xf/49g=[/tex]，定义[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的映射[tex=1.071x1.214]2ZEZYno7W+00P9PC+sTVIg==[/tex]：[tex=4.0x1.357]2cX94SetlZMzKRzc2asRSw==[/tex]，[tex=3.429x1.071]MUrUbl3JKUV2x2GeVbJpDYwwC4oHK34UgDLImhH1c2k=[/tex]，直接验证[tex=5.143x1.214]qD4P06ci0f78CxlVzU34jOD8rsob4NwG4QvhRUEugHK7WAYtk56shKCY9DNEQXzF[/tex] 且[tex=3.643x1.357]PFbIRb3MoDACf6tgkN/lEw==[/tex]，于是 [tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]同构。

举一反三

内容

0
证明(1) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任意有限多个理想的和还是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想 (2) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 的任意 ( 有限或无限) 多个理想的交还是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.
1
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=6.714x1.357]Bis8/eY8aphbE2JEKHudIA==[/tex]分别为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的左、右理想.[br][/br]
2
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。
3
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环,[tex=2.929x1.143]a9qTzPsUmiarqY8I8O9oKw==[/tex]. 证明:在自然同态[tex=4.214x1.357]H63lzD+rmAHOABNT7tZf5A==[/tex]之下, [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的象为[p=align:center][tex=4.5x1.357]Mj8RuD/+/gqXIUcO6oqg0Q==[/tex].
4
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.071x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfYTkN9P1upXqByi+BV+G+gI=[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 是素数 ), 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]有子环与 [tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]同构.