设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域. 证明：乘群[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群[tex=2.857x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRxzZ3TaC6dhfBvZcqVmvDO2M=[/tex]是有限域.

2022-05-27

设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域. 证明：乘群[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群[tex=2.857x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRxzZ3TaC6dhfBvZcqVmvDO2M=[/tex]是有限域.

答案：

证：当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为有限域，则由定理知[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群.反之，设[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群，令 [tex=3.429x1.357]oUN1Wh2aUu00NvuFtxpD+lMrJTBGbr1P+Sysul7rEcc=[/tex]，于是[p=align:center][tex=13.857x1.571]jgXTzEyPF0LB9ek9YnppWgg4fVJWddEATj3wR5NCG6ro+TFQp5fanHmOgDxsZkPLgk5kzlUvTS5ynbO3iOuHUxseBq7FMVrgKR8PM7jz1znmCnQQRb3yN7LWAKwmQauI[/tex]设[tex=0.857x1.0]TEOW1ZWgcUfvKa3/a5ThAg==[/tex]是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中的素域，故[tex=3.857x1.357]ZcIj0dW5UuMDwl6OWL5mrA==[/tex]当[tex=4.5x1.0]i+DVPOZZfbtwzlk7qK4ILhORH2ClXYQEoemhevW+N3c=[/tex]，则[tex=2.857x1.571]gOMJKfX2Tiur5++Pl8ZUULE/N1iQdf4Fhx8ieSCY/hg=[/tex]，从而[tex=6.571x1.571]IdcJlZWr6w2oyqZraKkhY374iS22ht4MZ9gKKOT0LvJhjLoQD4wea5HEJnMOYqlf[/tex]但[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex] 是循环群，于是其子群[tex=1.286x1.071]AdVFRYBgmM0HsKwwFJ+UnQ==[/tex]也是循环群. 因此非零有理数乘群 [tex=1.214x1.286]2YRq9usM5WdTo0J9rfRCtw==[/tex]是循环群，矛盾.当[tex=3.929x1.214]hJgT9LRjnF3t8t1yYL6QTA==[/tex]，则[tex=3.5x1.571]LHCWaTvbXYUkgIMEUkqO9lE+suptFSQ0UeMEJWXgDO0=[/tex]但因例如[tex=4.857x1.286]DRvWBb0A2q0o96SjdHGIS0wDt+jv05quRY7WnYESWaI=[/tex]，故[p=align:center][tex=3.786x1.357]o0H98NDwRdJwWvOBwshXo1h9ApZFMixIuIecVHFPa2M=[/tex]，或[tex=9.714x1.286]UzCmtuYbmhXehw3v+L61jzfCD98lvBB4Le7F19BFBjUyWVE1GBYLxcORZcdJ9K9r[/tex].这说明[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是[tex=0.857x1.0]TEOW1ZWgcUfvKa3/a5ThAg==[/tex]上代数元，故[tex=3.714x1.357]a2EZmzbtTgPeps+uA2+KLARw2xTBb3GIrlV0XM9wpYU=[/tex]是有限域.

举一反三

内容

0
设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的有限扩张且整环[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]满足[tex=5.0x1.143]j1C+LtHlCAL+m3nPs38ME+vv44Ha5clmpDa3qafre/E=[/tex]，证明[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]是域。
1
设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]
2
假设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是一个四个元素的域. 证明:(1) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征是 2 ;(2) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的不等于 0 和单位元的两个元都满足方程 [tex=3.929x1.357]n/e9mCKNm2GRMd1tVtaOAw==[/tex]
3
证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
4
设 [tex=6.857x1.357]2hHcR8Ytk+ATv/tbtrFhB+bH5kzXbno4izjBP9LXHso=[/tex] 证明: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=3.214x1.357]4/ttbAVEBSveXVKOoceuOQ==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上有相同的分裂域.