我们看有理数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的全部 [tex=2.286x1.143]lL/KTIAdeAGi+eDPP+Lq6A==[/tex] 矩阵环 [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex] 证明 , [tex=1.643x1.214]GUp1kXxG7MpXQYitx0FWPA==[/tex]只有零理想同单位理想，但不是一除环.
举一反三
- 设 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 是数域.(1) 若 [tex=3.143x1.214]lc9saNZUQhUfXqPn3pxMxY4O8yGlq8joGgs54MtmfAw=[/tex]证明: [tex=15.571x1.357]a5rpdwstWpaWxpuqSBnfPxhsgPwyKL91iDQyBYn5NPj2UtMC1VmHUlxyIShC/DkQXjnKhW/ZGw1kvuN3RFkz53dDQombxlQ/fbD3ePAajHcTbMzT8W8Jv/VBDiX3NBdE[/tex] 是四元数除环的子除环;(2) 若取 [tex=2.571x1.214]NnZ69AgyqW4HmnrthmVuUA==[/tex] 问这样的 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 还是环吗? 还是除环吗?
- 设 [tex=2.929x1.357]2jWUp16QmcrGSLr2ZWiqxA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 上的二阶矩阵环，证明:[tex=2.929x1.357]2jWUp16QmcrGSLr2ZWiqxA==[/tex] 只有零理想与单位理想，但不是一个除环，由此说明：关于有单位元的环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex], 其商环 [tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex] 未必是除环。
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的多项式且次数大于 0, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上不可约的充要条件是: 对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意适合 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 或者 [tex=4.286x1.357]Bjm/GfOl5UoUE3/6/N5Bew62HKPUKuqC0HS8DG8f9D4=[/tex]
- 证明: 域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中没有非平凡的零因子, 从而域一定是整环.