设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]Lsv/IcBzP94M7UM6CgvexA==[/tex]上连续，且[tex=5.429x1.286]meLiGT9lyQgvjUle9b2nICJaCJ572nO455ZoKhdJ/1U=[/tex]，证明：在[tex=1.929x1.286]/eteMVgr5NF8LH/YGodIxg==[/tex]上至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=6.571x1.286]EKsd9MHu0t+9FH7sz2I/cAaja4lHw2w0cMGJNBmmVX4=[/tex]。

2022-07-23

设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]Lsv/IcBzP94M7UM6CgvexA==[/tex]上连续，且[tex=5.429x1.286]meLiGT9lyQgvjUle9b2nICJaCJ572nO455ZoKhdJ/1U=[/tex]，证明：在[tex=1.929x1.286]/eteMVgr5NF8LH/YGodIxg==[/tex]上至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=6.571x1.286]EKsd9MHu0t+9FH7sz2I/cAaja4lHw2w0cMGJNBmmVX4=[/tex]。

答案：

知识点：零点定理。思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：[tex=6.643x1.286]pjS3EtBTWQqF7eVZTpuPP/XUpDQxrgVOc8bz3NsAWqQ=[/tex]，以及对应的闭区间[tex=1.929x1.286]/eteMVgr5NF8LH/YGodIxg==[/tex]，然后逐个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。证明：令[tex=10.0x1.286]VQ5K9d750TAE+fcFoMzAL8MLBlywA3SCWNZjmPPac+Y=[/tex]，当[tex=3.714x1.286]s/A68hOA0r2OwZbCKg7TaCZN0QexG1Zxn5sBaJUEjKU=[/tex]时，[tex=5.929x1.286]KTqKqXNXnk6dgGDLqdXggzVeEYaoo6wVtDf2BJRQ7/A=[/tex]，由函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]Lsv/IcBzP94M7UM6CgvexA==[/tex]上连续，故[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]/eteMVgr5NF8LH/YGodIxg==[/tex]上连续，[tex=3.571x1.286]C6nYiG1Nw6Ocl6aYq6tWRw==[/tex]在[tex=1.929x1.286]fTjcX/imJY/RbWWUXzgZtg==[/tex]上连续，故[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]/eteMVgr5NF8LH/YGodIxg==[/tex]上连续，且[tex=16.429x1.286]8YnGp3msm1NYyEa24PdiPJNLJYCtexvxKgzib4kmc5MFsso9HNdvZZhgnl9BpG5i[/tex]，[tex=8.643x1.286]Z3rgKCF6p/4V3EEpJhztPT0Mwjk5CkYmZ4byz8eSLcU=[/tex]，Ⅰ：当[tex=5.429x1.286]DiqLvlcNdkoznyU8fc/DYJkfrLfcYoZK/GzHMIUfBMg=[/tex]时，取[tex=2.286x1.286]J11SsD94RTvoZKIkSQF2AQ==[/tex]，则[tex=6.571x1.286]EKsd9MHu0t+9FH7sz2I/cAaja4lHw2w0cMGJNBmmVX4=[/tex]，[tex=3.643x1.286]tz97eZ7McBJ9sPj+o5pav7BWH269bC6ezHQGlTVHvns=[/tex]，此时结论成立；Ⅱ： 当[tex=5.429x1.286]NqeYuK+vq8jHDl0xclDezj4KmhkKvdCFGR9Zp4gmE7o=[/tex]时，[tex=14.429x1.286]IieU7L1ENo4AL+1ne+bMHDTI4lBvzLH/mx4/miiXYA1rIVFmRz8p8nn4F98Od+NZ[/tex]，则由零点定理得，存在[tex=3.857x1.286]5zjDng9PhWFx/6htRSRGM7hrumFGkTCVk8J8rENrcDY=[/tex]使得[tex=3.786x1.286]dUwcpVMmuacT0ierd6jwkQ==[/tex]，即[tex=6.571x1.286]EKsd9MHu0t+9FH7sz2I/cAaja4lHw2w0cMGJNBmmVX4=[/tex]；此时结论成立；综上，结论成立。

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在开区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，且[tex=3.929x1.286]yF7pvVInh0eInoseQrSNooOIScDfazfDCPMtH7DfBOY=[/tex]，若极限[tex=6.571x2.071]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGLqchS9Lj/X+AmLKN2Mtp6ZjfsC8Zqc0W11hwjAr0ZsNdoUpQrAzHLckJ+1vyLPCig==[/tex]存在，证明：（1）在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]；（2）在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内存在点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.714x2.714]gzM60KSvwplMcF58TO8u2dU/V2piuch2E1X2EWAq8T2tMW5aaDddAeP67XGZSLEjVkGIdLS/IgjJpctXT7GHGPzy+8N8PMGD0wwm/e2gq/M=[/tex]；（3）在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内存在与（2）中[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]相异的点[tex=0.571x1.286]IvGNOcnlsPar7nw7Fd55Kg==[/tex]，使[tex=7.214x1.286]gsb/5UaDnUD8XdPUF2TBamf03bdSvuobfcNAeIoG7EUwAqBBb1XK2sOUHMnHmMB0[/tex][tex=7.071x2.5]wOzTTci5ZM5vNI7JuR3k3ApIJCKN2nOrNe2VyFImWPej6nOblfzwRVRZEsKlr/pniR6jHkdk/9kZHHsPyc87eQ==[/tex]。
1
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上连续, 在[tex=2.143x1.286]VykF7BpO3NFT550xU7Tx1w==[/tex]内可导，且[tex=8.0x3.0]NMeyz8ghtotq7DTsULLmBYirfEGxIEpcXYX8j8KlwM4i4oF6o2DP8HLv/ue3EX2NfR3RSORXmOJxm44uem5hHQ==[/tex]，证明在 [tex=2.143x1.286]VykF7BpO3NFT550xU7Tx1w==[/tex]内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，使 [tex=3.857x1.286]0o6buAQ5WD2oecMXnej5rGJfy0hlAviIntaWqgT/AKA=[/tex]。
2
设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明至少存在一点[tex=3.643x1.357]lTsOOhJ85nTn3mrT2Mx0lw==[/tex]使[tex=6.286x1.429]JZ8spbP5y8lrG0FgeChLIS7LPAFOZNl0MwLjGUb1ZoE=[/tex]
3
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。
4
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续,在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导, [tex=3.714x1.286]c/7qSEbCZzHa0GZbNzqjfQ==[/tex], [tex=10.0x2.857]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzSghLQ+KEInuY2K6MnVJ+Wk5YlEQiyB8Wqv7BbxuAXo5yCzk81I8VVIfToJCJ4GmxmMLMNdMXTfhFWk0s3tSAIQ=[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=8.5x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hVJg9V+x+lqkAVSWNeYnKEvlJrsAtdq3wpYAtQsMarU6[/tex]。