如果半群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有左幻元[tex=0.5x0.786]TBa/wxVah6IkxUQi/stEBg==[/tex]，对[tex=3.143x1.071]T0RveP9X50AYgo23dfRGIYwsjLnrq/g5DcfMhKejxgU=[/tex]，有右逆元（即有 [tex=2.214x1.214]tCu1hVBxUUjXSEw2ss1iACgTd3P981gUP2sdAiBzDzw=[/tex]使[tex=2.571x1.143]LIbZamywXb99op29Y4+VMcQ26MRHbO3pmNhmOCOKzDk=[/tex]），问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是群吗？
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？
- 设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群。证明: 如果对任意的[tex=2.357x1.214]u2lVcDsim/zlZpBEangpAw==[/tex] 都有 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex]，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个交换群。
- 下列代数系统[tex=2.643x1.357]ceH+eYnXqUT340bMKzk9Jw==[/tex]中，其中[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]是普通加法运算，试说明哪几个不是群.（1）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为整数集合； （2）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为偶数集合；（3）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为有理数集合； （4）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为自然数集合.
- 证明：若群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中每一个元素都适合方程 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群。
- 设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].