"设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群, [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex] 是定义了一种“乘法”运直的非空集合,并且存在 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex]的一个单射的同态映射,那么 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex] 也构成一个群."则以上命题是否成立?

2022-07-24

"设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群, [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex] 是定义了一种“乘法”运直的非空集合,并且存在 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex]的一个单射的同态映射,那么 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex] 也构成一个群."则以上命题是否成立?

答案：

解：题给命题不成立. 反例如下，设 [tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 对于 [tex=2.214x0.786]pEPJhbFMEA2rm3NDzYSYYw==[/tex] 作成一个群 , [tex=0.786x1.143]+e/8UWtg2KiBMBkm/e5YvQ==[/tex] 是非零整数集合,其上的代数运算为普通乘法. 那么,由 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.143]+e/8UWtg2KiBMBkm/e5YvQ==[/tex] 的一个单射[p=align:center][tex=2.857x1.214]eXvOQaLJL6nCXdgU15CjaB4v1ETAzZ1IHG8+8UNflyM=[/tex]且有成立[p=align:center][tex=10.5x1.357]E7yTHz0YukoHB/R2hkYCKScW8EniIcwmuHCMx1KpA/xzEeyRv2jPe8YPZbty2r3Bw7awQmJR8b518i6yssn56g==[/tex]那么, [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 是从 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.143]+e/8UWtg2KiBMBkm/e5YvQ==[/tex] 的单射的同态映射. 而对于[tex=2.286x1.357]ogJS0uwqVIfRn9eXexncK8+eolXaj2voSPmYdJ2L7FU=[/tex] 它在 [tex=0.786x1.143]+e/8UWtg2KiBMBkm/e5YvQ==[/tex] 中不存在逆 元,因此, [tex=0.786x1.143]+e/8UWtg2KiBMBkm/e5YvQ==[/tex] 不是群.

举一反三

内容

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令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是全部实数对[tex=5.0x1.357]W7+mtqSlqtV17Wi3u/j7kwz9N+o+qENvjXCtpjJ9CnU=[/tex], 的集合.在 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 上定义乘法为[tex=3.786x1.357]/RmZ+lRtM+EjLLOb6yhDPA==[/tex][tex=10.357x1.357]W+NLSu4u5AfNXzaqaY1KMGXyIXAqEPi2mu+iWLpATAM=[/tex]验证 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群.
1
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，而[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中任意一个固定的元素，证明：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 对新运算[tex=3.786x1.0]qdFcMdOFIU5BdUlQV9p1h1K21OvjpGCN05A+gCa5iXk=[/tex]也作成一个群.
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设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？
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设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是由6个元素构成的循环群，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个生成元，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有______个子群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的生成元是______.
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设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。