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  • 2022-07-26
    有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为[tex=2.286x1.286]E4dfche4evkKEuXfbh/mFw==[/tex]，顶角为[tex=1.429x1.286]LZaviVTSIl+v2ZJdrJZPfQ==[/tex]，漏斗下面有面积为[tex=2.929x1.286]lmbI4SZGNGoqcbQO1wlSEA==[/tex]的孔,求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
    • 解：水从孔口流出的流量[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]是单位时间内流出孔口的水的体积, 即[tex=3.143x2.429]D48qgzhaxpL5+6hCHkf4JsdxREe05XorKhOCRi2EAIsQUm0kiNpOBJuemCbhKyiw[/tex]。 又从力学知道, [tex=7.0x1.286]nxOLGUKeJfKJo8xUdJnancaO6v+Z2AzKgwSVpszy47Q=[/tex]，其中 0.62 为流量系数, [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]为孔口截面积, [tex=0.5x1.286]xchkYdkyGsHZyvcALOmunw==[/tex] 为重力加速 度, [tex=0.571x1.286]x194220Kn6/AuOngnKO24Q==[/tex]为水面到孔口的高度。于是有[tex=7.357x2.429]4MHhesgJJwrKkcFfvkAG+2WJlhAN4UMrKSX/B2ghtGb+B7+jigH+523WvS0ZEfrpO5fInmVQzUeGupAz/Uq5dw==[/tex]，即[tex=7.857x1.571]f3p6gF0SqZ4QLVSY1STk7P2NwrkUjQMMHHgtD1Rp4Uowk//Q7+vrOyKDJ8Q+lo5Tp7KTW5HK8tIuT0kHGwnxOw==[/tex]。（1）设在时刻[tex=0.357x1.286]tv9NEQGfxmSBsvmqN3/Q7Q==[/tex]，水面高度为 [tex=3.5x1.286]riso3W76MM5Xv6jlntvsPw==[/tex]。从图 7-1中可见 ，[tex=8.929x2.214]+CilfzHWBQjpJYdpqQ7/ACD1dp0dnwfXZzCT+Hd/A5RKS0BSZIhBOPQLAxlkDgIh[/tex]， 于是在时间间隔 [tex=3.714x1.286]/BrKmBvPONgvIq4HiiB6R5c3wL4SumT2nd+yVslpemk=[/tex] 内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量[tex=10.214x2.143]f3p6gF0SqZ4QLVSY1STk7DrHk08CyhQ3kPqGxnQAToENKC4Ek8vgoeYcX1mAA7zUYB5Ay91kD8O4TfL50RBjQsZ/hCXQbH/+F7NX49Q7xyw=[/tex]。（2）[img=399x291]17738df436554d7.png[/img]由 (1),(2) 式得微分方程[tex=11.571x2.143]wtcCNzKkX02geIc9eTeGLQpbwyufHcRV5WWHXAs7/HkYQ5Rc62Wq/AIA06qUUi5CFBFglrtBlo7a+YNmKhkuWqt/DWCzlBGmYT3ky7AWnStpi6ofL+MEUguZ1rNwvgVQ[/tex]。并有初值条件[tex=4.571x1.286]9cL3HW+48ELJJjxVyHEFmrPIBqgY5y+xLO70GKLGk4U=[/tex]。井微分方程分离变量，得[tex=11.214x2.429]qp4M9SvfGzOWCtvxI2nzEopMem8tq98EiOGN0ZMcOw3QHksguSemGIRN+QiEvn+gE8W5KDEmYEfKKXVvbr1pDYU5kDhKXkrUoR7pW2oOvonlJoSkbCc8phxrq3q+EOwr[/tex]，两端积分,得[tex=11.5x2.643]iBSYslq2N8g8gKCOpx0IPQfzCnvUbwpT4VuPcKvNE0QyUp8Q0prFypTvtKTgEi3qrvDGySuRm7ZU+20Ow0mL+0MZ9L6PhVJiPci/9nIjMwU=[/tex]。代入初值条件: [tex=2.143x1.286]5u+Kfi2y78D0EeH+RhjPUA==[/tex], [tex=2.857x1.286]bV1BG1ZRx/XsoVfzz0f4ng==[/tex]， 得 [tex=10.071x2.214]W7MwMrEuAXu1bKEsm/+9vkLwEWaa0qiZgfV9ztbT5GXjvrS5m1k6PGhZNmrV6VK2bZAazUFoGS+tUJzxOANSYvn08w9uRsWupqdEqi0O7yg=[/tex]。于是[tex=12.714x2.643]u53ICtDFI2cItiONOvtmHOarUOJT7HeGaIDGAhj8Z/bapggwhEB2tuY8M4xf3OTcuPAFsPEnhOtZEapazy3ywDLeiAH+SHZTUIyubGZCaF/EvozVnaLfCTGNI0nnxm76[/tex]。代入 [tex=5.857x1.286]vo0/My/ZyRzye5kKwfV4hS40yBh7qIgCdmVj2uhw5e/eh8Ppym3Pbhdo1kxUEYbN[/tex], [tex=6.857x1.286]GWic1U4iyyfJFm4tZ01SK08pVkmmQ0bweosONWsF/invpxgEPq1SAfrOPib4i7Mc[/tex]，即得[tex=8.286x1.5]ArfQ9Wvl1kBa3j9GfbgD8sfF5jIXAUU0bWEIM7BmOxhdd67VNKj8bTyF+eZQbiyv[/tex]，代入[tex=2.357x1.286]TgpzVkGoVCKBTiS5HBkf7g==[/tex] 得，流完所需时间[tex=3.786x1.286]Duak4SXnRmMLNa5Ek94Aai/VwMFW1Tsc5retHg0cB50=[/tex]。
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    举一反三

    内容

    • 0

      已知总体X的密度函数为[tex=7.714x2.0]W6lO2xb08XtfGU+i+eWnnw0CYD2q/WnshEaqki8GpVMOeqy/otZWzfjDp5+q5K1zhcE5PYDwCsbkps/Ai80OlAWY2LzwO27YO5WUcjykYsTiv/aqhrPzMG7mjSWssq7cUfDYwL/Ba6ELGNi0tzZLIQ==[/tex]，[tex=1.214x1.214]Eh13YTQY62V2jiw99mPjtA==[/tex]，[tex=1.214x1.214]CN6DjqLuf+rqHGJDNNgdBg==[/tex]，...，[tex=1.286x1.214]cmYIy5GvvFOF7TsVoM1mWQ==[/tex]为来自总体X的简单随机样本，[tex=0.643x1.286]LTFTesLIJc93sanD/R60mA==[/tex]为大于0的参数，[tex=0.643x1.286]LTFTesLIJc93sanD/R60mA==[/tex]的最大似然估计量为[tex=0.643x1.286]6aLR5cs+zL1ZJ/ZaZm5bybopi938kIu79zfe9WEwAKg=[/tex]。（1）求[tex=0.643x1.286]6aLR5cs+zL1ZJ/ZaZm5bybopi938kIu79zfe9WEwAKg=[/tex]；（2）求[tex=1.429x1.286]kAj2yPcF3eKnwjhncaSvSHCAvuBvmcXbhaVW7sTnRdA=[/tex]，[tex=1.429x1.286]qRLvccS7Ogyct3oif4OV1P/xMQdG7ad8lpt2hyG7+nU=[/tex]。

    • 1

      求函数[tex=3.286x1.429]kdT+eIE7CHPynuN6CaN40g==[/tex]（抛物线）隐函数的导数[tex=1.071x1.429]BUw1BPFU3fsJlAl/vt9M9w==[/tex]当x=2与y=4及当x=2与y=0时,[tex=0.786x1.357]Hq6bf3CacUy07X+VImUMaA==[/tex]等于什么?

    • 2

      已知边长为[tex=3.214x1.286]bCS8rzUKvGPmES5kZ0OVTA==[/tex]与[tex=3.143x1.286]YBwl7SWwRiaQyVV+oAjgqA==[/tex]的矩形，如果[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]边增加[tex=1.786x1.286]OD0s2d1Q33iI7eKgWdQNIg==[/tex]而[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]减少[tex=2.286x1.286]E4dfche4evkKEuXfbh/mFw==[/tex]，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

    • 3

      一个由圆锥面[tex=5.0x1.643]L1mMyE+pmRrVhKGb1vNX3jcKQCSABiqdbvMy7sJs7Cg=[/tex]与平面[tex=2.357x1.0]DiJR/9DW631uuahYoMJyLg==[/tex]所围成的漏斗中盛满液体，假定漏斗内点[tex=2.286x1.357]Vc2pH4ypHndnllKqCpRn1g==[/tex]处液体密度为 [tex=5.714x2.571]8UCHjsN5Jdhm0OfeBO8GmH3HsZEqoPmI/fjMI805JKI=[/tex]，求漏斗中液体的重心.

    • 4

      对于以下两种情形:(1)x为自变量,(2)x为中间变量,求函数[tex=2.214x1.214]sy9gaFRMGlrH59gm9bWSDg==[/tex]的[tex=1.5x1.429]5W5tOYbJ+LlsRP2dMsi4byxwtjvvL/3u7NEzPV5PWp0=[/tex]