设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为一距离空间,[tex=2.286x1.357]uNx1yRKIJibDD91x9bFH3g==[/tex]为其 Borel [tex=3.786x1.286]Cu+g7BtdUis9aBuIwDb4Sx3KqfZH0bmN/5ixmyprjYU=[/tex], [tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex]与 [tex=0.5x0.786]dCrI67AYQK6jFSlsbBXzAg==[/tex]为[tex=4.286x1.357]Ov5MV3Kal7wprZ+VpVfbXA==[/tex]上的两个有限泅度. 若对[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一切有界连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]有[tex=4.429x1.357]TOpdR0ImhpYjehdUNzFcqA==[/tex], 则[tex=2.143x1.0]Eq4/+qNVhT4Lut4q2j9Qqw==[/tex]

2022-07-26

设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为一距离空间,[tex=2.286x1.357]uNx1yRKIJibDD91x9bFH3g==[/tex]为其 Borel [tex=3.786x1.286]Cu+g7BtdUis9aBuIwDb4Sx3KqfZH0bmN/5ixmyprjYU=[/tex], [tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex]与 [tex=0.5x0.786]dCrI67AYQK6jFSlsbBXzAg==[/tex]为[tex=4.286x1.357]Ov5MV3Kal7wprZ+VpVfbXA==[/tex]上的两个有限泅度. 若对[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一切有界连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]有[tex=4.429x1.357]TOpdR0ImhpYjehdUNzFcqA==[/tex], 则[tex=2.143x1.0]Eq4/+qNVhT4Lut4q2j9Qqw==[/tex]

答案：

证明 证法一: 显然[tex=3.714x1.357]F7SkocaR4CF/Y3VUmZ76/zILJqwMwtfbJx4lRLyT+hk=[/tex], 故[tex=4.714x1.357]GQkkokvmge45Xu5KUUFw9NNcLa99ubfjtmZhmMVCytw=[/tex] 令[tex=14.643x1.357]PN2p5R9M6gTvs9w//11sNbcb+G/3l7FNA/iJd/WsJBTfnkH0JkwjKRdVuB4dIXSwrC5HCX/Z6Npp3WMV0oWHYQ==[/tex]由题设有 [tex=4.429x1.357]4MFTQzfpCEAhE7nKEXsh5b/XyhBln3swWJqBDzFgAf0=[/tex]由积分的线性性知[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]为线性空间，且[tex=2.286x1.071]z+EWH2yXtJbUQSrfF0v0LA==[/tex]又[tex=2.571x1.357]PYZVUHwwZSQ/n7V1US8WSw==[/tex]对乘积运算封闭. 故由第二章定理知[tex=6.571x1.357]BtHyXTLQX0ux/hzLUlmSP7yvzcMHu56tc0aKcxPrDWUW0jue+8XsEWZZF79TUrhb[/tex]再由习题[tex=9.643x1.357]IaLNoh0HEr5KgGJyWxLE9YaIbHr8r7Qg3qqHxpNzeRY2kBzW4xkJ1keNIhMtqG8S[/tex]知[tex=3.929x1.357]n8C/ThCL1D4YM6rhT+Lh3A==[/tex], 即[tex=2.143x1.0]Eq4/+qNVhT4Lut4q2j9Qqw==[/tex]证法二: 令[tex=10.786x1.357]gl9c1f7A5RjAH/E4oUE8Xyoqh/oYeePw6N54pA9FaL7vNSd7U8JT2xNe4TNRfyaz[/tex](1) 由[tex=3.714x1.357]F7SkocaR4CF/Y3VUmZ76/zILJqwMwtfbJx4lRLyT+hk=[/tex], 故[tex=2.357x1.214]xf6Fm2a9niTThB13Uy3j4g==[/tex](2)[tex=11.5x5.786]BZNbpEMwej8qR21H/BTQk5PinWXTGJgGAWtG9d32/Q6bNUhzzpMjV5OFt7/qVFaYbDnhIk+ltZpFl5olg/1Vm63Af3MDhhtrqy3HLyuld+JtGxgPxTVw47tB0WeEluC16rjAqO1Na1kWLHGwSqwqbbvneaa1Z3EvWd0ttIBfuTsO6koamVn2xNalHk8icp4ZOeq3Sc1HrURpytUbfOtNgQ==[/tex](3) 令[tex=2.429x1.214]JWcJIooDrW9AfMSL3+O4qTe0hdqRBbDi1v8O61EOXKI=[/tex], 由测度的从下连续性 [tex=3.357x1.071]4m/WpY6haPAeDAXcrz+MFj57+iSpxDr9nBEz9evHd8w=[/tex], 即F为[tex=3.0x1.286]/mlJqKKYUYrlKdsyhgVYyLIyf+KNy3qU6L5F9RPpG+E=[/tex]令[tex=5.643x1.357]OYRRd8N1oPKfQqqyIhtuI/Rii31OQMknDzZiM5EzAqs=[/tex]为 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中闭集} 则[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]为[tex=3.0x1.286]B6Vc0s9F9BOuI1iEvDRuQw==[/tex][tex=2.643x1.071]/8orPnhRNznck2VUp+h70vUyKl1FyfP36gJSIvSAcbM=[/tex], 令 [tex=16.714x2.786]Ba/IYvGCOPuOJg5j6WrFr5zio/SeM62gIVFkokEWEzQ933vL50kjJ03+oFlSYMOBm8daqGLDV+cT77OwsEv48OotX4vtlRQR6Qz/nlRER5QrvnjPOXjqXA7BPEFa5dXa[/tex][tex=1.214x1.214]U0dAQ+pvD2bNwV6RaBjAPg==[/tex] 由题设有 [tex=6.214x1.357]riqi3of2FYZjsUEGajtmFNGiMxDNnQDKSi/GnZpeoRRR9HzT9zrClqv8aiS+YUoO[/tex] 再由控制收敛定理有 [tex=6.214x1.357]DI/Im3/YZ3xEVd2gf3dpO23U2FxcawpQjUdiwJGQqFXgqX3ckco/GpDI9u9/FUX6[/tex]故[tex=2.0x1.071]xLK/sKlsTFUCHlx9zwUW/g==[/tex], 即[tex=2.429x1.071]AsHRdMqCvxsN4/2gVedGnQ==[/tex]从而有[tex=7.143x1.357]Z97jDrGA5cZmFwefmc4Ff7L2+o6rPN1C6uuxooOpnfw=[/tex]

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]的代数扩域，且 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上每一多项式[tex=2.143x1.357]rByUrHVBTQB2C43DbY7ymQ==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域都是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的子域,证明: [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是代数闭域.
1
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测函数，证明: [tex=2.786x1.5]gmo7TK4S1I5uTQcu/L821w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上可测.
2
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。
3
证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的常值函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
4
设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的函数，证明: [tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测当且仅当对一切有理数[tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，[tex=7.571x1.357]J40NUMj31BesXCdVzyyGwmPUdeytQoo1BIdzDHwhKqs=[/tex]是可测集.