设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换, [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基下的表示矩 阵为对角阵且主对角线上的元素互不相同, 求 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的所有不变子空间.
解 设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 在基 [tex=5.429x1.0]5XWH7n5GxMHnX5nq+6dNyVv08PxRWhXq62sIUFVWQn5AtOp5a55Sjoba/INzUbjU[/tex] 下的表示矩阵为 [tex=8.571x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/2U7H1QCI8qMr4Er67Mcypf43Ac6RnZEDIMgflSZfCw9k4lyXfH1wQPB4nMouu6G+A==[/tex], 其中 [tex=5.571x1.214]C6U1SwQmltwAhIKkDFUMoSgp6JdjEGO675FYVWAGY2A=[/tex] 互不相同, 则 [tex=5.0x1.357]dUuX1hfdGXKM49t+ivBPZRk0bi2OAZwWD9WXYXWDMeachPVAByUWOvQnyw7LPvWW[/tex] 对任意的指标集 [tex=11.143x1.214]aS2bVwIIJPcVpqK8jbwevdI95jFsTDGlaITgTQywrJi7APRsgD47QnnYkaG5ecgX[/tex], 容易验证 [tex=8.857x1.357]Ab2Vq584rPA0X7YNqyGLbj3k8wb+ujo892O+Xq1PLzyEphJZxeCLmyrbMTIVXe9OlJ24xKTZVNY75wyh+IhRkw==[/tex] 是 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的不变子空间. 注意到 [tex=4.5x1.214]GK+NSLRH8xaRJJ8iGzp8YhaLb1JrN4SkQAUcZkIx4uk=[/tex] 的子集共有 [tex=1.0x1.0]fzMOq1R4i1iALyDu6+6LRg==[/tex] 个 (空集对应于零子空间 ), 故上述形式的 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] -不变子空间共有 [tex=1.0x1.0]fzMOq1R4i1iALyDu6+6LRg==[/tex] 个. 下面我们证明 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的任一不变子空间都是上述不变子空间之一.任取 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的非零不变子空间 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex], 设指标集[tex=6.143x1.357]mOkQvrOHZ9mjhGbHBQ2L4CJ8Hr3dBjo8sca4GLN4KP/XGMDaFE3fOmnASvxDliRN[/tex] 存在某个 [tex=2.0x1.071]zhj0/+X+7+jpXZcuBxCYcA==[/tex], 使得 [tex=4.786x1.143]Ujl07n0Os5wDqf8UJXugF7qMw+ydNayTlj6hPETuNsQ=[/tex], 其中 [tex=2.786x1.357]X7PYWCedu/+0CaP8l51Wsj70o2sK6pgOCie3W/JpQqU=[/tex].因为 [tex=2.571x1.214]Ll8Ezr9EVsNDlYrtW0rUpA==[/tex], 故 [tex=2.286x1.286]8vtbZcgnJ0yt7oaHkR3OWuXGKe6/TOmZCFkTdehPKiA=[/tex], 不妨设 [tex=7.786x1.357]NRstmERywtP+h3PTlW7MOlKT9AlxMKHiwU7lfstu3E5sxHbhpiFTDZAqiUJmpApvkS1WGG4FH9h5BfLNGidxmQ==[/tex] 由指标集 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 的定义可知, [tex=9.857x1.357]7z5kVTOG5+C+G3OvMQU2++tFj0AqJslXxmlRQtoUMy+SE9LU6mffBevhMYkGOmUHD4kFL2ugcuEdbfX3uxShhNDoaaGyI7dYprC7zyDnpPs=[/tex]下面我们证明 [tex=9.143x1.429]DkzjE7Tyud2qxz3EoJfKlmXdUugWuHPXNNs6/d3ANhpkyyqgWHkgpzkCDiL6aUPS[/tex] 成立. 不失一般性, 我们只需证明 [tex=2.929x1.286]vyQyGmEIbJzy/4DDfWA65B/lqVgeVHxInQakB07MTg4=[/tex] 即可. 由指标集 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 的定义可知, 存在 [tex=2.0x1.071]zhj0/+X+7+jpXZcuBxCYcA==[/tex], 使得[tex=10.643x1.214]L/RcqnSg83/rxFjbmrbDDAduc6E+xBiQLWMw/tqFmskRr5+1Gjs9pX49r5slX9KJyvhPjXXAP5UOW76yNawGRjNh5FFI8YSsxiHQtP0fw+A=[/tex]其中 [tex=5.286x1.0]VEwtYMMvdkvLN1PLXdoMJEzFQ7CBivDLw0kyGYNYBKE=[/tex] 都是非零常数. 将上式作用 [tex=0.929x1.429]4cMOWAeZofJT5s+buWAGbA==[/tex], 可得[tex=22.357x1.571]yrBCuFlJ0ck+oHgEf4fOOFsnxSBK2pS3/3dwrLftAeNEisfFSjBDdAnXkd5D3v6xs/vasmuQBjkxNtubNC+hZMznUEc4j+sN3tPhYGucE/6Lct5dXVgQ+w6NsL3i/bLds1r3+KuxPmsICRQls11fDWxgjTI/GWukrNRvuVEaWejVDXUy13LOrPwwuY9k3cqgT8Lj6Vb+sL/lr4hY6jE3aw==[/tex]因此, 我们有[tex=30.0x6.5]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[/tex]上式右边的矩阵记为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex], 由于 [tex=15.429x2.214]rpzsbqg5X8Tpt5/GK17XdEXAcLtiIM3xEBUFySaKqIoH8oPxX3oIJF4/JVkPd1fV0TUBsy+XolUxPqmb3nKmW0Cfw2CnBXM6zde5CaEjToepv2RLWPEOcIEMklOGgLTEevgzcOe7n7BmYzocdgmt/g==[/tex], 故 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为可逆矩阵, 从而[tex=19.714x1.571]9qFMGBlFJm+6jlBubub+NiuzltEfG5vT8SeaY1ysCn2S2FaOmK9pBOHBc0JcyoTmevv9kzqRPjX3L2CVx6oydXm9fmGM8gEFl+RrbSmjMgpZuGvG+FQP8uir/D7/ZNeIOnSoPr4OgMyToNljtbaBF/0AP3uFXuln8zpxsspkWgBK3vtHqy3wD3NQPrx5iOqRsgSCs1y+iymui2JhP2IxDQ==[/tex]特别地, [tex=1.0x1.071]MpfcicjoPqQqmBllFMoghA==[/tex] 可以表示为 [tex=9.0x1.5]xozRJjrRkeVGaLrQMS9/WdXT/Ual650r/RHd3/JozrQykPURSU5vXWs8pIRAiAqtLo0RxwnX1lJAL/gQu4jgNg==[/tex] 的线性组合. 因为 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 是 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的不变子空间, 故 [tex=9.0x1.5]in692713bAygpHCBK3ngkXEAsq3p2J4ipAZaE4MmX/uNloFKghBpqML4npdb18r2ylRhT/t/A+rv6+DPD55slQ==[/tex] 都是 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 中的向量, 从而 [tex=2.929x1.286]vyQyGmEIbJzy/4DDfWA65B/lqVgeVHxInQakB07MTg4=[/tex], 因此 [tex=9.286x1.357]T9BnuTfYytro4E96G4jx1fEfsRyRMG1awWsb7k/VEb2lPptrNxbteqvlVAihvWPF6OqbRIYwcwiJFh8sopbzY1zfTCELtsNZ8HWGRYz4xjs=[/tex] 综上所述, [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的不变子空间共有 [tex=1.0x1.0]fzMOq1R4i1iALyDu6+6LRg==[/tex] 个.
举一反三
- 设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的线性映射, 则必存在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 和 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的两组基, 使线性映射 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 在两组基下的表示矩阵为 [tex=5.5x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vOGsz4lMsaik2WCvgDGOBAocIVyOBfqUzesJTrjK6zZ+d35oA8cH1C8Ci4UbJlvD8Q==[/tex]
- 设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的幂等变换, 则 [tex=3.786x1.143]g7yEE1/54EdcTtD+Ulyqgg==[/tex], 其中 [tex=9.929x1.357]GXvcLYcEec63tHprym0REZjeKWU9JkS0+Nu2aB5hdCAT1jXQNyg1XKO+2qAtWa6PB7V9NrOG0KvuMLzrdVLEof5btMZenNIEVGmt1slnMno=[/tex], [tex=10.357x1.357]2PwUz7bniD3tYBcNY0qvx6X7+7JQa/YaTlLwIJOzNZwQoqJKCloNs5SZHd5MKvOfnRu/5ekq96gJsujT0beCUPLhBg0UcDNGEYYQ+v0Xg0A=[/tex], 且 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 就是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 上的投影变换.
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维内积空间, [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换, 求证: [tex=7.429x1.5]Hxr+WAd0pdX8wRxoSXYGR3do9fEtDlh1/HAxD3DUXhGMjAefuLUvVoRdEHJyjLhXFlycXQ3p2whuN5XqXwrP+wAqj43ADjVBq9YjRHMLZEY=[/tex]
- 设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的非零线性变换, 已知 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 不是可逆变换. 下面条件能保证 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的 核空间与像空间之交为零的是 未知类型：{'options': ['[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0在\xa0[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]\xa0的某组基下的表示矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0适合\xa0[tex=2.786x1.0]KPihQJj4ZZU9JEE9t5X/Uw==[/tex]', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0在\xa0[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]\xa0的某组基下的表示矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0适合\xa0[tex=2.714x1.214]+yxb2fEUuHYxLwX2MLViFg==[/tex]', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0的核空间维数与它的像空间维数相等', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0的核空间维数与它的像空间维数之和等于\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]'], 'type': 102}
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间, [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 和 [tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换, 则它们的像空间维数相同的充要条件是 未知类型：{'options': ['[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0和\xa0[tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex]\xa0都是可逆变换', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0和\xa0[tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex]\xa0的核空间相同', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0和\xa0[tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex]\xa0的像空间相同', '[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]\xa0和\xa0[tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex]\xa0在任一组基下的表示矩阵的秩相同'], 'type': 102}
内容
- 0
设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是实四维空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换, 它在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基下的表示矩阵为[tex=12.214x4.786]59Kc+wt/w/lXK3ncoinsUdm7X66JkoX8ThJ49fcJJ+AIp6gGqkQ9C2FSW6zoVmgylJJTgfgf0dwa2qpD9Kfhs48T49EXmuzELXqACpfA1Yum2pjSjRYFJiMs8R82qHs/p267WgdJbdAUwzx4HU/P25Nql8M2hdCwdrATJyxSF8w=[/tex]求 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的核空间与像空间, 用它们基向量的线性组合来表示.
- 1
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 有一组基, 这组基的每个基向量生成的子空间都是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上线性变换 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 的不变子空间, 则 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 在这组基下的矩阵 A: 必是可逆矩阵 B: 必是上三角矩阵但不一定是对角矩阵 C: 必是下三角矩阵但不一定是对角矩阵 D: 必是对角矩阵
- 2
设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]上的线性变换. 若 [tex=5.857x1.571]dlZn1WdSEhJnaQfjAzNay4TIfH54naq98zpD0G+3eAkJyYIeoNhzJVa9bCG6MTbl[/tex], 求证:[tex=7.643x1.214]iIotIX85I058AY0uMJSgutb/w8njTH7pkPuwY+U+zsSq9GX9CZ5GdUR1DP9/bnrfyL43/k2euqbFlcouGaGC1fWgQxGgvK0rtaRkzWb+Kxc=[/tex]
- 3
设 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到线性空间 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的线性映射, 若 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的维数大于 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的维数, 求证: [tex=4.571x1.214]Cl7XURcasfWz8MoFQ30+5S5YVL54FJHuW95WWrFaWxE=[/tex]
- 4
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间, [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]及 [tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex] 是其上的线性变换, 求证:[tex=16.5x1.214]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr832ZyBiTlGz3KhRn1+2YPkL6yUB0ieAOQC9LqcKUw+EQQSHzmVflmQkONNKd31hGxPnwq6awd7WhqKBBunapLAIaDjwaRAnAyGoFEzJW5C+5znhHHY4hIBM4Hk+2WMheVTN90C6lXzT4S0lm8W8IS+pX6huiMQYwj8ui94BM0NlvmvKO49KulM0+TUlQrxy+jtaqFFo2sskhBAqWAA36Y6iY=[/tex]