证明：实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]半正定的充分必要条件为：有实对称矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]使得[tex=2.714x1.214]mO08s0pAAqVsX3xXN43OmA==[/tex]。

2022-06-29

证明：实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]半正定的充分必要条件为：有实对称矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]使得[tex=2.714x1.214]mO08s0pAAqVsX3xXN43OmA==[/tex]。

答案：

证明：必要性。设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，则存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]，使得[tex=12.929x1.5]q5BG1nkDE6RhY5l44MAOr+w8KzOHrPbEV262sG4jGxl3Ee2gygM1sx6jIpyRp6f5UX7hZ0gKfYVJL+T7BtOl/h1aXNk4nRjZ2T1KhljLsfMYdSAh0mY7XJa+OSxITjEY[/tex]，其中[tex=5.357x1.214]0FbTjvkZ+c2o52PxjJD2Wld/F7Un6vh0QdjWNakkuPaAnAGbx7iv+u9RZJebrxCx[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的全部特征值，它们全非负。于是有[tex=32.857x6.5]rAgoYTzslBBjCyITaNPjNvNa6tXL8G4/o5zcyIFjaMI9scULEGplORexy02etvcCCB9CCEdQjtsNgVvUkNPygki/SwdZo8/G5OvzoCceueMOLrLRfpuWVBmsrZB/gcGgBjcxnLTEI2ut9iAQwk+rWckm/2WTUvAnWUPFQ94CzMpoUjsYeG5W2d10oUHq+mSwFKbHdHVZJQhSoD0S2C/dI9nrvMVpx7JSkTldx9rziiZsxJ8sx9xmoyCSHCrU81N+CZwtDAqKH/CL3ONItyuQzuLv1hGlpU4YqXXlGoZ1u7SZJ0AegLx/694sjhaXAxekE6VC3YrHBLtU5y/eN935am7ppTOVD3V5Til5gpTaTOVY6qh3THdWUPahg/OjRhplt+6l+hP7zVN+U0AT9yzH7iZGUXlpHMjpGvuB9B2Dfmi6rXuMw3Q/DpJXRPqYO7Cr[/tex][tex=2.0x1.214]fC0Dzu6fowQc6sSOOAFfLg==[/tex]，其中[tex=17.143x6.5]rUm5xFdUeRVR1jKND5TI9b1/eGoxmtrRjidl0Yj0UpJPYRXohgCUs5ObwOMjh49wO7ba2wcw+ETdH7gqG6/fngg73ArkI2VwtqTx8pmr0DC0BCKW4ZEESzlZ3M8U9XnkXirRoMPv0Jh7MZAoFSFOrzSD0Yb1KcbBRBQjN92nvv6lyHhUErMDUzUTYo4hSqs5XYkJRcR0owTbeEOll9PCvN/l67LZKL0Q7DAh9B3ZCUI=[/tex]，显然[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]是实对称矩阵。充分性。设[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵[tex=2.714x1.214]mO08s0pAAqVsX3xXN43OmA==[/tex]，其中[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]是实对称矩阵：从而[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个特征值：[tex=1.0x1.0]/1BEOWdTwIvDcFOcLZg2QA==[/tex][tex=4.929x1.0]MnLYcLXi+YCe3MyzeTv0E9Y5YBCkeYDj/L9PJn0NfQM=[/tex]，由于[tex=2.714x1.214]mO08s0pAAqVsX3xXN43OmA==[/tex]，因此[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的全部特征值是[tex=5.857x1.5]6zcqgfb7eYLkO7Mka6pc8msl3t3E+n1fF2D1TizHAzrtoM8MkqzIbrR4AXIfrIEq[/tex]。从而[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是半正定矩阵。

举一反三

内容

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证明：实对称[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可表成如下形式：[tex=3.286x1.429]U5gIlVClfevnE+Jxb92o7A==[/tex]（其中[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]是实[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶方阵[tex=1.071x1.429]WZlpYuYqEov5qZu8k8Tt7A==[/tex]是[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]的转置矩阵）的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有主子式都是非负的．
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证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，则存在一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实可逆矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=2.5x1.143]/m30iNU/otWBkTYP2S1GqQ==[/tex]与[tex=2.5x1.143]QLBQCRpLt7DO7ViQLYKywA==[/tex]都是对角矩阵。
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证明：[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是半正定的充分必要条件为[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有主子式全非负.
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证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵，则存在一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实可逆矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=2.714x1.214]lzPCT5yF+LgDKywlyUEMYQ==[/tex]与[tex=2.714x1.214]Aq6HwIZW7B8JTiPGula26g==[/tex]都是对角矩阵.
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，证明：[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 正定的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征多项式的根全大于零．