证明: 若函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有限的区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内可微,但无界,则其导数[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]在区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内也无界.逆定理不真(举出例子).

2022-06-30

证明: 若函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有限的区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内可微,但无界,则其导数[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]在区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内也无界.逆定理不真(举出例子).

答案：

证在开区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内,由 于导数存在,因此[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内 连续.现在假定[tex=9.857x1.429]wBItcjJDvNNHOcWxpgmCv4CeJUhlmiEQRJb6pr6uVo9vjF9TPC0pAytwsUCC5n20[/tex],即[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]是有界的.取定[tex=3.143x1.357]FPHi0OziTJByoNZgH2u7tA==[/tex],则按有限增量公式可知,对任何[tex=4.214x1.071]hd2N6zin2I/M1fzbgVEiVw==[/tex],均有[tex=15.429x1.429]RkTYgiuyB6sbFbI3Rc7240Vz3Xc+vsOeQhTEbYs89dw3+OOWNipI91VkIsUTp60aVOSK0pHzbuWa4VXeTfqShQ==[/tex]其中[tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]在c与x之间,从而属于[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]因为[tex=11.643x1.357]QnPBHEldh4bU6nkmWmL57aikFkv7VbKYpmqaVJ++7Lz3nwgVeXNB+TDfucBF0E9g[/tex]所以，[tex=10.357x1.357]Tqca5243cMDydwnPvDNgEk4bBZW4lznw4jyQor7kaVU=[/tex].此与[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是无界的条件相矛盾,所以[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]是无界的.反之不一定正确.例如,函数f[tex=5.0x2.357]PyIElzcTKL2eWgOrB+o6eGbTgYIBc+lG9vqAEgiayLM=[/tex]在[tex=3.214x2.786]gS75tLoNE8bmKOre3sRY6lnI/nKROABjYY2uOlEz1WU=[/tex]内有界,但其导数却是无界

举一反三

内容

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设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在区间 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内可导, 且对于任意 [tex=3.429x1.357]WwD1rvmcLUz5NmrhSa2JkQ==[/tex], 有 [tex=8.786x1.429]w6PVZnaDpV6OaJNAIufU/Km4T2nxnYwj/EK5GlAw/6sH4BybdtNVIutsqNz6IhNC[/tex] 。求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至多有一个零点。
1
证明 :若函数[tex=3.786x1.357]UvhdVkag8301tqptZS9pSnTEzUw1hXvnrVsqGMpf3EM=[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上是连续的; (2)在此区间内有有限的导数[tex=2.5x1.429]h1oRERik5iMM24jtwqaN8w==[/tex](3)不是线性函数,则在区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内至少能找到一点c,使得[tex=9.143x2.786]wBItcjJDvNNHOcWxpgmCvw19lCqlzpiCYlSJ89399sOnUrWYhH+JS0rtDjKN6gx1uKkphh9SJt1GuhM4bovdPA==[/tex]给出这个事实的几何解释.
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证明有限区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]不能表成有限个两两不相交的闭集之并。
3
设 [tex=4.143x1.071]kxRhNHUkSTPIqIOg8m8SAA==[/tex], [tex=5.214x1.357]9VDxReIU2/H1bsajyPY4+O22dUI3J0/5Uj6cIkUHXj8=[/tex], [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内可导, 试证存在 [tex=3.857x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex], 使[tex=6.071x1.357]uMNdmCagFy3OsdybMYXLYA==[/tex][tex=8.286x2.429]Wc42QHMZTNfC51lnuEO2lUs2N84e13BnozS6zgfDzWVjuA4cNOanaWt/OETTwEh/+It9e9rUiYTiOQcTAoc77w==[/tex].
4
设 [tex=5.714x1.286]0w6ugvGmZHEYW1N/eSCC9H4JQOuvJDgSZU14JtDfOro=[/tex], 在 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 可导, 又 [tex=4.143x1.071]kxRhNHUkSTPIqIOg8m8SAA==[/tex], 试证存在 [tex=3.857x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex], 使得 [tex=5.071x1.357]IyWvU+sT10PT7NTcRLypYg==[/tex][tex=6.0x2.357]Iex9oiqhmhYz4X/X7iuRgV3/yovRGUs+U8vB5qXpVpGmM08Ab5o1o7/Dgg0HOlyqdsVf/NzhouXHjNxUMVWwFw==[/tex].