设[tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]是区间[tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex]上的任一非负连续函数.(1) 试证存在[tex=3.857x1.357]fWMahRPmeOz2vFswwALLoYJZfma9BS+76Iie6qawvP0=[/tex], 使得在区间[tex=2.429x1.357]slKUvVfK6nrkgAgt40NEfWz9VLyWwxfs1U40X5t/Llk=[/tex]上以[tex=2.357x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvJb8dtW9qy/mmMOGrha2vV4=[/tex]为高的矩形面积，等于在区间[tex=2.429x1.357]UORCQbmxNTG/LVkEc9DmRbPjLmOSM49uR9LV2Mg+w8U=[/tex]上以[tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]为顶的曲边梯形的面积(2) 又设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]内可导，且[tex=7.071x2.429]h5cxzP+tK0GuHRnC+rZPD1ib11THBa5kNiuysfdY5cNhHtSCwMEvAv2aI7Zn5Yvs[/tex],证明(1)中的[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]是唯一的.
举一反三
- 设[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]是区间[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上的任一非负连续函数。（1）试证：存在[tex=4.286x1.286]KOOhcqs6MLRLVmzwcF6jPnDkK7UPrPgRw1Ohj6XCUUk=[/tex]，使得在区间[tex=2.429x1.286]eUK3hgD4pzwFkA8D0CYb96xeiuxOVGGfdWLQXXemWm8=[/tex]上以[tex=2.5x1.286]5zET9n/RJxMEroNltOnqwusvIM0uoFG3Zaf7nXFSpP8=[/tex]为高的矩形面积，等于在区间[tex=2.429x1.286]15I+/ervxdIdvY+T1Mq8vw==[/tex]上以[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]为曲边的曲边梯形面积。（2）又设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在区间[tex=2.143x1.286]VykF7BpO3NFT550xU7Tx1w==[/tex]内可导，且[tex=6.786x2.071]yF7pvVInh0eInoseQrSNorUKnePYyZHNdL9+anbi2HhZuECu3GX/eWDXHHnIkghW[/tex]，证明（1）中的[tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex]是唯一的。
- 设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]上有定义,且 [tex=2.786x1.357]y1GD/EklRURhLjL3srHLMcR6UxgwOU0ByqGUOreCxB0=[/tex] 与[tex=2.357x1.286]wEUzJpbZthP7E9BbZV10lHGRPLbPgatg5A0kc0W1ogI=[/tex] 在区间[tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 上都是单调增加的函数. 证明 [tex=2.429x1.357]lrCiwS81ZLblJbuP1EmZ5A==[/tex]在 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]上连续.
- 设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex] 上连续，在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内可导，且 [tex=8.286x3.0]G6+1YvlrFaF5P6VmU9fE2DS/0iDMCyPAxzJiFHoWmePvQHjYU7G8KcZ6d3H2+L8aHxPQvbyXP1cPn+WOyl5f1A==[/tex] 求证: 在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]内至少存在一点 [tex=0.786x1.214]KegfMaYpIlzP8JA53y93/Q==[/tex]使得 [tex=4.214x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOsmb1i8xL21i2iKFOotkgrI=[/tex]
- 设h为X上函数,证明下列两个条件等价,（1）h为一单射（2）对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
- 设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex] 上连续,在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内大于零, 并满足 [tex=9.143x1.5]MuEdSVq2LGXh8UFLEKFi9I/tbIcFoYvhzlmCAhpjDBVvaefYyjD9fvZQ9nBFXIga[/tex] ( [tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex] 为常数). 又曲线 [tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex] 与 [tex=4.071x1.214]68krnql5xkP9/gVPXfBtrg==[/tex] 所围的图形 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的面积值为 2 , 求函数 [tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]. 并问 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为何值时,图形 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 绕 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.