设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间。证明：[tex=3.786x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMk7zKkZhF2bgTbHz3S0yf+A=[/tex]是一个连续映射当且仅当[tex=5.286x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iLSwrngb6SRC2Tn5gE953Mw=[/tex]是一个连续映射。
举一反三
- 拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为伪紧致的，如果对于任一连续映射[tex=6.571x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iOYIFpzQxTFHxwm4zQkZZEWoNPZ8j+8FX5pr7UM9yN0N[/tex]都是有界的。证明：度量空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致的当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是伪紧致的。
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMuOahKiPzLRrtzSIbjGFDt4=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是一个可分空间。则[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]也是可分的。(这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不 变性质，可商性质。)
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的一个闭集。证明：对于任何一个连续映射[tex=5.571x1.357]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2SFwh6zSlG//GtiXiCkg520=[/tex]，有一个连续映射[tex=5.643x1.357]Kkf4juLcWuoaFk4Ad6pAjVU7d7iq/GEGPZc/XeScdTE=[/tex]是映射[tex=0.714x1.214]OZevdH6uGNQxcBwPZQ11cg==[/tex]的扩张。
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
- 证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。