• 2022-06-29
    设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]实矩阵,且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩[tex=3.857x1.286]Wa3gudbAEmsHT1iIhD91Ug==[/tex],证明[tex=2.071x1.286]t4LAURrctFIgPiUiJ+kFXA==[/tex]为正定矩阵.
  • 分析:利用实对称矩阵正定的充分必要条件证明.证:因为[tex=7.0x1.429]aky1TMWxpn1dCQlTYGcWX6Rxw+oJTQhkcpCG60QSHry6TPBSwio8yjadxwSL/uCpgTw/oSlT3eFMFf3oRA4KWA==[/tex],故[tex=2.071x1.286]t4LAURrctFIgPiUiJ+kFXA==[/tex]为实对称矩阵,又[tex=3.857x1.286]Wa3gudbAEmsHT1iIhD91Ug==[/tex],可知齐次线性方程组[tex=3.429x1.286]krRwy8YgB/Uv3CfGqbUpBw==[/tex]仅有零解.所以对于任 意的[tex=10.357x1.286]zauZ2dZNQkRIFeCQB5CBFYtjMq+A0pX1WKT6Jh6zlcA6Gs+UkLN6WnMvUHTujcmfJhzvyqOwa+YkEYavaa5g/g==[/tex],必有[tex=3.429x1.286]bo/dKB+2O97j9kelmdsg1g==[/tex].于是[tex=5.643x1.286]zKXq6eDkGFiZ374jwkyfIrXE3wCiRUFNjOsLyxA9aEyWfcl4rDNApissBHQICbeQ[/tex][tex=8.143x1.286]3nLmlGGQlcJtW7GHWPIsoMRGis7bqoC4F714QXZHHzY=[/tex],即二次型[tex=5.643x1.286]zKXq6eDkGFiZ374jwkyfIrXE3wCiRUFNjOsLyxA9aEyWfcl4rDNApissBHQICbeQ[/tex]为正定二次型,矩阵[tex=2.071x1.286]t4LAURrctFIgPiUiJ+kFXA==[/tex]为正定矩阵.

    举一反三

    内容

    • 0

      设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex],[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵,且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为对称矩阵,证明[tex=3.0x1.286]+Kuu2eFUus2l0EouIu5RjNd8NcgWY09erbUFzkPnuyk=[/tex]也是对称矩阵。

    • 1

      设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]矩阵,[tex=2.786x1.286]N/eE1tAJJwPeRTpYlqOl2g==[/tex],证明存在一个非零的[tex=2.286x1.286]LSTHw8W9yMi88yrn1vdMYQ==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex],使[tex=3.571x1.286]e+srJojTm8Kf62t4In3fUA==[/tex]的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩[tex=3.857x1.286]XyH9tykvyoOc6BCa6xVh9A==[/tex].

    • 2

      已知[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵,证明:[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]也是正定矩阵。

    • 3

      已知 3 阶矩阵 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 的特征值为 1,2,-3, 求 [tex=6.5x1.286]s2V6Qaqp+bpcXLertnl3P3mVLO+x0D+2LbCkAvqppHs=[/tex].

    • 4

      证明性质7.4.1:设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵,则(1)[tex=1.286x1.286]I/09VlJojFBZQlWpvi/KHQ==[/tex]为正定矩阵,其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意正实数。(2)[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]为正定矩阵。(3)[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]为正定矩阵。(4)[tex=1.214x1.286]861032IuvLpLlBDX6HDk6Q==[/tex]为正定矩阵,其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意整数。(5)[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]为正定矩阵,其中[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]为可逆实矩阵。