设A是正定矩阵，C是实可逆矩阵，证明：[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]是实对称矩阵，而且也是正定矩阵。

2022-06-29

设A是正定矩阵，C是实可逆矩阵，证明：[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]是实对称矩阵，而且也是正定矩阵。

答案：

证明：由于[tex=15.571x1.429]oBuH0kDaKv//eo7K+mYbbJARCoyKDkZ86aWrEwMiRs49dxZ6I/DRRXWS6WM0SHbr1EMb9slMYJSu2tyzUsfAXsIbqpM3IpHAqaE0fwiNkoo=[/tex]，所以[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]是实对称矩阵。由于[tex=20.071x1.429]oCE7/xWPnYyD3+qHqsQ31fL0SfpGdZeey3VoOqJWLkvw7PbuufIRf7BD0UcHJ003EMigScYb4nkbilRh+vvJY1qcbLibIqF2STsrXeS8z2bN3HvHbccXObmmd9R4f5U7GYEsns58FDFokuyoa0m5+Q==[/tex]即存在可逆矩阵[tex=1.786x1.286]zCWNVv+8S2Yl0i7fKSZnjg==[/tex]，使得[tex=11.214x1.429]oCE7/xWPnYyD3+qHqsQ31fL0SfpGdZeey3VoOqJWLkvw7PbuufIRf7BD0UcHJ003upqBhD6IvglXkDjCV9T1dw==[/tex]，根据合同的定义知[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]与A合同，故[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]与A具有相同的正惯性指数，由于A是正定矩阵，所以A的正惯性指数为n，因此[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]的正惯性指数也为n，由此可得[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]为正定矩阵。

举一反三

内容

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设A,B均为n阶正定矩阵,证明[tex=2.571x1.0]WccFGH0Sag9UszFhapFwng==[/tex]也是正定矩阵.
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证明：[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]使得[tex=3.286x1.214]QmOMvBPr6os2SPaojQViqQ==[/tex].
2
设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵. 且 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是正定的. 证明: 存在实可逆矩阵 [tex=0.714x1.286]BMKsEVFNvpiLV0UsqDFXCw==[/tex], 使得 [tex=5.357x1.286]N/5UAR85rTS8OGHqcWvMVJRgJZf7qrME+wYyNCklKWHtGrGTJfQLJk82QwPDhH1v[/tex] 都是对角矩阵.
3
设[tex=0.929x1.0]FV0k2T/xaj6dPCbFnkB3/g==[/tex]为实对称矩阵，且[tex=9.357x1.357]W3A4JLJp1yvvqX8OOb72r5QzxWJTH7Mlkl3UgdJHQQ4=[/tex]，证明：[tex=0.929x1.0]FV0k2T/xaj6dPCbFnkB3/g==[/tex]是正定矩阵。
4
如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是正定矩阵，证明[tex=4.929x1.429]6l+Gch2WSTvQkI2OWrIxJAka6OYqwQhWzdcwYDHXmEc=[/tex]也是正定矩阵.