证明：若A为正定矩阵，则其伴随矩阵[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]也是正定矩阵.
若A为正定矩阵，则[tex=3.143x1.214]VSc3EKSF/eXzEoXI/ylc5K1NiRYd/jGKBIJydZmnhIDtW06/iqU5/yKnTtN0D64F[/tex]，且A的n个特征值[tex=5.786x1.214]0FbTjvkZ+c2o52PxjJD2Wld/F7Un6vh0QdjWNakkuPaBhynGsx99W4TeX2L9Z17VflUI+zxMVnwzsxaENel5Tw==[/tex]均为正数.因为[tex=6.143x1.5]F/zoyphvhqAjHMpcwD0VICtP9kXBOm7q/RdqskNnj17r0L6TTScp2iwvITqnD15Wnx/uiSKUrimXSsT+XVTEWQ==[/tex].所以[tex=20.643x1.786]0idGSV3RW/tbV3escumNdI22vHfqirXroqyvUxI/IGThHXvKXoigYH66ZKwRrkcmJ4Dxje0YgCIecmW42PdHlzra4lm2tphwprU+h5GWAtE1x0DJkBEuOwCBpaEsWmafNeQo0tXYc5gPU5LnR27uQ/p0UBkzL0AunAZLCPpH+k8idZd5BlFScXbX5tNtNnojVeSDMhaTRsZWq05ME8/mUT3WleS6eEUIEclv4u70QvOSvCgOzBnav+IYAFW9M4XLg5ND5tc+RjonC8teuFjH0G+p1DVEF/6ZmmzndJ5EMZYSajiEiQ7WDh3u/W1LmZOW[/tex]可知[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]仍为对称矩阵，又知[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]的特征值依次为[tex=12.357x2.571]0VVO5JfJiHC/v5ediT84p62lT4640Ub4hZJBWNysPLb3sVtw8CA2Weqzlob7H8pUJBv5Rl6U80n9kWtA68C9atkRo4levJUbEp25AVCiVT6baUzawcGnulGmAC+ZVai5X1jTTicGdcr1YINY5RK56tsD9I035b4X6Q/744TVh9Jo957oliaBnBbDDDmZFAhvPdu2R/7amUF7/mgO1HzgJA==[/tex]，故有[tex=3.5x2.571]0VVO5JfJiHC/v5ediT84p62lT4640Ub4hZJBWNysPLZ9m7R/upWk/WttUNGNTb6H[/tex](i=1,2,...n)，所以[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]仍为正定矩阵.
举一反三
- 证明:若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定矩阵，则其伴随矩阵 [tex=1.143x1.071]nnt6woQbTr+wrutPzAntHg==[/tex]也是正定矩阵.
- 设A是正交矩阵，试证：[tex=1.857x1.214]317mMb/UfJBjZHDU7raSnmJUtsL5S6D6sJ7aZU7sEkg=[/tex]和[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]也是正交矩阵.
- 证明：如果 [tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]为正定矩阵，则[tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex] 的伴随矩阵也是正定矩阵。
- 设4阶矩阵A的秩是2,则其伴随矩阵[tex=1.286x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSng0LJvrihprruusK4SVz/+w=[/tex]的秩是[input=type:blank,size:2][/input]
- 设A是正定矩阵，证明A的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]也是正定矩阵。
内容
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设A为正定矩阵，证明[tex=5.357x1.429]317mMb/UfJBjZHDU7raSnlGWNv3TAfOvDYKp6rxGdYH/wkTdLKG3lnIOSFYz8youGAjHU+ybwOxrrfsF6HGDu+cSPQH3N0u7/42O6/3sLSs=[/tex]都是正定矩阵
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证明：若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]也是正定矩阵．
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设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]为正定矩阵，证明分块对角矩阵[tex=6.643x2.786]Nw/iCPiBfAazOGg7nvEajgPBAQuUM8o217spfRqUWnvKn6MUeZ+gJ/BH9Xgze23H2LbbuUCHbmybt74rPJ3O9Q==[/tex]也是正定矩阵。
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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为半正定矩阵, 证明: [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]也是半正定矩阵.
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如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是正定矩阵，证明[tex=4.929x1.429]6l+Gch2WSTvQkI2OWrIxJAka6OYqwQhWzdcwYDHXmEc=[/tex]也是正定矩阵.