对于对称群[tex=4.357x1.214]wnRTfTwvyklHr5hx239WTQ==[/tex]，试求：（1）所有子群；（2）所有正规子群；（3）群的中心.

2022-10-27

对于对称群[tex=4.357x1.214]wnRTfTwvyklHr5hx239WTQ==[/tex]，试求：（1）所有子群；（2）所有正规子群；（3）群的中心.

答案：

（1）所有子群为：[tex=23.357x1.357]gs98/kB4HnHR1/jMHlcnIjGzVWhVZ7BMAeno0966Fus7cMi4YnzF79srW1jFseIk1iLmYdg6DQr+YuwGeTQRn34p1tY12R8rCD5Ssgo3S4yz2pVO7vhckLLKanTfoT83Kso69pcsnMLcI+g/TCA6vrZ36N+VNNGDjxZk+52ECa2KJItw6VmpxFHigzXfxitFYB+3Cg2Pr+XLdThGFXUZgID8OwHUBELr9Lk1jaAZXk4EN6MTO4NCN2RgyXgYq5+0I3ng1BuGtI5lCp9/9VZXfjJoBNWJ7p6AS1kGMWQ9wJm5HHEHPU854cKaknngcKdXaXfn2sYbzndvLnVK2rgxUw==[/tex]和[tex=3.214x1.357]dg8X5ibSl4Xb9xvW+bepLULQvAJUYAatFBF1KQs/sGksQc+QDT/Ij+ALlUKdfKLw[/tex]。（2）所有正规子群为：[tex=11.857x1.357]gs98/kB4HnHR1/jMHlcnIjGzVWhVZ7BMAeno0966Fus7cMi4YnzF79srW1jFseIk1iLmYdg6DQr+YuwGeTQRn34p1tY12R8rCD5Ssgo3S4xsfiJ+OA/ifredPNX/BPwXchTN3frG5tuiuQrGCth9VIo1XFyEYYTTQ0sb0w/Pgh5HnEWpwqBsrJScgfgCwrWO[/tex]和[tex=3.214x1.357]dg8X5ibSl4Xb9xvW+bepLULQvAJUYAatFBF1KQs/sGksQc+QDT/Ij+ALlUKdfKLw[/tex]。（3）群的中心Center G=[tex=1.929x1.357]Wr+c/zfS4BV4AdKN5YVX7iOoOZmKOTfIdh0Lh3DrpSA=[/tex]。

举一反三

内容

0
给出对称群 [tex=1.0x1.214]VlaXkNO7I0w+AwTlQkUDyA==[/tex] 的一切非平凡的正规子群及相应的商群.
1
证明，如果[tex=2.571x1.357]qPdOsucFoqQhvPWJfpOGTG1E8YxKOwvuJPntT7Zq4x8=[/tex]和[tex=2.571x1.357]TIdnrqj3P/y7DlVAM8uPLBGtYpAxoce0RUXCIwP+2MU=[/tex]都是群[tex=2.571x1.357]WGC1CuEIXJ2UAqjN18lr2bMBb2LdtoR0igzQyVPRnF4=[/tex]的正规子群，那么[tex=4.571x1.357]wDjz07Yl796XjlsE+Ed5AaN26ggKLJMLHv4667RLlYg=[/tex]也是一个正规子群。
2
设[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群. 若素数[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]和[tex=2.714x1.357]YG7qvLS9bCYW3nMIPQNAvg==[/tex]互素, 则[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]包含 [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的所有子群.
3
证明:若群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶子群有且只有一个,则此子群必为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
4
试证有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex].结论对无限群是否成立?