举一反三
- 证明：在数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上，一个向量空间如果含有一个非零向量， 那么它一定含有无限多个向量。
- 令[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，并且满足条件[tex=2.357x1.214]+yMFkw0zysC3uLtrSOQZ04A7ibXUEpuqUiZnufmRBxQ=[/tex].证明：[tex=8.286x1.357]ZKT1r7DC2eOfnWo1m8Vow1eKIUYZiaNZ2QInKDJ1FQR7F+5yeeP+3ir4NBilh11v85N/0hyhk+dj4NKg9kKr7w==[/tex]
- 设[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]都是域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的真子空间，证明：如果域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为0，那么可以找到[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的一个基，使得其中每个向量都不在[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]中。
- 设[tex=3.071x1.214]aKCzKguPwZrqT3KIz/rPig==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的两个子空间.[tex=1.714x1.214]Kb9AFtaRhrTRwhwWH/+qRg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的两个向量，其中[tex=3.214x1.214]t8zLxVD91QEBmhkBbs6n3SAm5H+WIvU74RNcdvUI1iA=[/tex]，但[tex=3.214x1.214]rYEhGcKHXMch7itV88gz3B6BaFABzAxdCepguwz0O3Y=[/tex]，又[tex=3.143x1.214]SvYSXEXUPTLHfLDCGwyD8y3+Qyd0PksccEYlLQNP/FE=[/tex].证明：对于任意[tex=7.143x1.214]8Dp9ObWFoIhV+Gpx74zNaVVc5zEJTPiTGLpUZGG2tSoZREZcD8D8yAEb+7lICYgo[/tex]
- 如果向量组 [tex=5.071x1.0]DDCPU3Fy/FArEpQoRZpl6jDx8EPNTFRgmnyze/3BoCM=[/tex] 张成一个非零向量空间 [tex=0.929x1.214]QRu1dOIpRfeeOsjYoJRpWQ==[/tex] 证明: 存在由该向量组的一个部分组构成的 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的基.
内容
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设 [tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW8UiH0GFLj08pVPZaN1Dbiw=[/tex]是线性空间 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 的 [tex=0.5x0.786]ICKY+F5VdoSQrRn/wUUOyw==[/tex] 个非平凡的子空间,证明 : [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 中至少有一向量不属于[tex=5.357x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW6NOFio2Pds294Bv4ocg9JA=[/tex]中任何一个.
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令[tex=2.214x1.357]Hm++1ZoLiKyQ3KbBVGtJQg==[/tex]表示数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一切次数[tex=1.714x1.071]BwlHQ3JNNEhQfZ3gLod71Q==[/tex]的多项式连同零多项式所组成的向量空间.这个向量空间的维数是几？向量组[tex=11.143x1.571]T8+CJVlZUxAP/r7zuAuPiuFOYvykoOHu61nVGQbWlAakZHlLBOvrGFUeDPyWBuDL[/tex]是不是[tex=2.143x1.357]HzG5EBlJGj4QcjgGRqPngw==[/tex]的基
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令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.
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证明:如果秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的向量组可以由它的[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量线性表出，则这[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量构成这向量组的一个极大线性无关组.
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令[tex=12.643x2.786]JNbsV5I8NEm8VFH2DAf/76FdleQnlG4VItDIW1mIBUPhDtUbOOCd9766ofjVs1GDWutn3/HLbWpZM7Kqd+Dcc1tZ+421FH79CsI4ztb+ESV6A+SoSYZMqkITmjxlkmf2zP3xWlIor8lLjgPN4BQLbw==[/tex]，证明：[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]对于矩阵的加法与乘法成为一个域，并且域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]与复数域同构。