设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为n阶正定矩阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]为[tex=2.643x1.286]6/RzClznJ0ApNmeA+nDTlA==[/tex]实矩阵，求证：[tex=2.929x1.286]h5IMJl/N9EZDwShQp0QanA==[/tex]为正定矩阵[tex=1.0x1.286]rOrw2E3Z1BdSSAw41TowZ4iHlO4qaDBsGJ7nVzEmCWM=[/tex][tex=4.643x1.286]fnwATrtFg1k0bj82UIjMow==[/tex]

2022-10-25

设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为n阶正定矩阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]为[tex=2.643x1.286]6/RzClznJ0ApNmeA+nDTlA==[/tex]实矩阵，求证：[tex=2.929x1.286]h5IMJl/N9EZDwShQp0QanA==[/tex]为正定矩阵[tex=1.0x1.286]rOrw2E3Z1BdSSAw41TowZ4iHlO4qaDBsGJ7nVzEmCWM=[/tex][tex=4.643x1.286]fnwATrtFg1k0bj82UIjMow==[/tex]

答案：

[tex=1.0x1.286]x75e8bba1accy98eLb3ngwBEvW+5Ew5ORdsNAfg4fFI=[/tex]假设[tex=4.643x1.286]773qEcCrEjU1deG0pw97HQ==[/tex]，则[tex=3.714x1.286]Sua2mxQUxd0wJ/igvPRULg==[/tex]有非零解[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，由此可知[tex=6.071x1.571]GQKvkSjzG6thwOykTi20E48ovR7QA1SMNyHmZs3JSls4zpu62wtEaVMBKRYTmOVT[/tex][tex=11.286x1.286]czOIq9YuEut3mUclIndfkvq1k/jv6n6AyfCR6kXg2CNHSJrojrQrKVMgZXtICvEo[/tex]，这与[tex=2.929x1.286]h5IMJl/N9EZDwShQp0QanA==[/tex]为正定矩阵矛盾，所以假设不成立，因此[tex=4.643x1.286]fnwATrtFg1k0bj82UIjMow==[/tex]。[tex=1.0x1.286]uAYdJKdJPVPa6DR4QdMoyw==[/tex]首先因为[tex=7.571x1.786]VnqiwoQnDR0SdbbSg+4na/9BtY0+RVCYHEkDUAePkzms5AlYkpuw4J+RfoShkXADPCfhTIWznsLxQUgC6vEA9Q==[/tex]，所以[tex=2.929x1.286]h5IMJl/N9EZDwShQp0QanA==[/tex]是对称矩阵，现取任意一个n维非零向量[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，因为[tex=4.643x1.286]fnwATrtFg1k0bj82UIjMow==[/tex]，所以[tex=3.714x1.286]Sua2mxQUxd0wJ/igvPRULg==[/tex]只有零解，由此可知[tex=3.286x1.286]FjYta8Eftf5RnIF7cdeZgw==[/tex]，又因为[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为n阶正定矩阵，所以[tex=7.143x1.286]czOIq9YuEut3mUclIndfkucTO18/Jx4AFybUWEgL2IY=[/tex]，即有[tex=6.071x1.571]GQKvkSjzG6thwOykTi20E48ovR7QA1SMNyHmZs3JSls4zpu62wtEaVMBKRYTmOVT[/tex][tex=7.143x1.286]czOIq9YuEut3mUclIndfkucTO18/Jx4AFybUWEgL2IY=[/tex]，所以[tex=2.929x1.286]h5IMJl/N9EZDwShQp0QanA==[/tex]是正定矩阵。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]矩阵，证明：[tex=10.357x1.286]0/r0pDIsK4Iwlhjz7RpEUXSCNX4DRPbQI5NoRfzCFDQO30e+2J5I6u1+t0V+tM1S[/tex]．
1
已知[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，证明：[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]也是正定矩阵。
2
若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵，证明[tex=2.929x1.286]PgI7SwgsQ9tTXWFTdkSmxw==[/tex]为对称矩阵。
3
证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ，都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]，其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。
4
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，证明[tex=2.714x1.286]HqIzVk/FgrqCQ/miBSp3sA==[/tex]是正定矩阵．