[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]$ 是环.若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的加群是循环群,则[tex=1.929x1.357]9FIhbzl5/ukvcSDgYTm40Q==[/tex]是交换环; [tex=2.286x1.357]axdHSNMdwcobwVSNlkH7lQ==[/tex]的子环只有 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex];[tex=1.857x1.357]ThrYSsXoU1UBNEIfeDOUdA==[/tex]当 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的元素有无限多个时 ,它的任一理想也有无限多个元 [tex=1.929x1.357]NIek8+t8ermGRBdOwRXFbA==[/tex]当 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的元 素有限时,设 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 为它的理想 ,则 [tex=4.929x1.357]//w0J9Ke3XWDGMAIDmCBvBiit8p9pBK4npdb/yt9WYg=[/tex] 的加法子群都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想 .
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的非零理想, [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 的素理想. 证明: [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个无限的主理想整环，试证若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中只有有限个可逆元，则[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有无限多个素理想。
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环， [tex=1.786x1.214]6tfK8Xu5VII5Cof0ldCDJw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想，则 [tex=2.071x1.143]FGBbsKfBrmsAUpq686lM7Q==[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=13.071x1.571]XuAP5pRnpiOzK6W1JU+4iGIcUJwy+lBPPYAw+otff+OMazqOwTbIAA1mh7Znww+F[/tex]。