设函数在 [tex=2.0x1.357]ypa7sVIsGi+dtDPUtrup2w==[/tex]上连续,在 [tex=2.286x1.357]3Mr7qD12fc+/+Wj5W5Ioig==[/tex] 内可导,且 [tex=9.357x1.357]9waZZBs1Yvcz5pDd9jek/XBuVKWUiN0/70aldaTFLDs=[/tex] 试证明在 [tex=2.286x1.357]3Mr7qD12fc+/+Wj5W5Ioig==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使 [tex=4.214x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOtoBimlSwdbRMvIRZqC+Rbw=[/tex]

2022-06-05

设函数在 [tex=2.0x1.357]ypa7sVIsGi+dtDPUtrup2w==[/tex]上连续,在 [tex=2.286x1.357]3Mr7qD12fc+/+Wj5W5Ioig==[/tex] 内可导,且 [tex=9.357x1.357]9waZZBs1Yvcz5pDd9jek/XBuVKWUiN0/70aldaTFLDs=[/tex] 试证明在 [tex=2.286x1.357]3Mr7qD12fc+/+Wj5W5Ioig==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使 [tex=4.214x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOtoBimlSwdbRMvIRZqC+Rbw=[/tex]

答案：

证明:构造辅助函数 [tex=7.286x1.357]T1NpcNbEM87Y7kn/poPYoA==[/tex] 则 [tex=15.429x1.357]u85Wn9LCcwHeY3gQI0Dn6AYgWhiYWEF5KL3u8zjzIRUfJ9v4oQmSgulSUCFEwgVr[/tex]由于 [tex=5.5x1.357]RPH5C2Z517JaKtct4NUs0T5GKm+AzGgxLSBHhTBXCUc=[/tex] 不能对 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]ypa7sVIsGi+dtDPUtrup2w==[/tex]上使用罗尔定理. 注意到 [tex=1.929x1.357]QM8T3iNFoiiGg54AmkU+iQ==[/tex] 与 [tex=1.929x1.357]xkRY8Mv9OhQBJlxyMCZs0A==[/tex] 异号. 由零点定理知,存在 [tex=3.714x1.357]xNx3WQulkZuXEMWyrZcVySRvZD42ioCHGB/29SyQ1Ds=[/tex] 使 [tex=3.5x1.357]52oUeiG27LK36e/0lPKLdA==[/tex]于是可对 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]MBZefHaCDzC66fKagchQ7g==[/tex] 上用 罗尔定理,即存在 [tex=7.214x1.357]gZtruxZMp9qdAYCFzZzDwC5mexgSct4Y6GmcoA0QorBxuvoPQcJZ8b7uDyjnToHS[/tex] 使 [tex=7.929x1.429]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLkIzWaeD8+BSdYmPOLpTRhGb+Kbtnn9/4jDOWZoOBoqD[/tex] 所以在 [tex=2.286x1.357]3Mr7qD12fc+/+Wj5W5Ioig==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex] , 使 [tex=3.5x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOlOysmqn1pVrkt5tBqmF414=[/tex]

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上连续，在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内可导，且[tex=8.571x2.929]fFonlOvJL97BJtDDWjLTkMpUV/kAP6KcQYPnTKTQ5/FfW7as1H+Oh8YJSjRwTqGh[/tex]证明：在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内存在一点[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]，使得[tex=6.214x1.429]rKROpRQ25Mc2UoUu0G9R54cFt36t7L2IdcO2bzM1wCk=[/tex].
1
设非常数函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]stG05jmmIfTHbIvq7S6Sdg==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内可导，[tex=4.286x1.357]EpQjgSEuzGk8AwZOaXQY7A==[/tex].证明在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使得[tex=3.929x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOiXPSOg7ONsZQpjXR57q+HI=[/tex].
2
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导 [tex=5.214x1.357]GxgUuh9z1onPI5crcORAtg==[/tex] 证明:在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使得 [tex=9.5x2.429]niAtuUW6+h0Uvz2r65+6tRn/iqSWbT8eXxIUnVnzdbLcVUuxnA9eBzKN/ENSov1Q[/tex]
3
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex] 上连续，在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内可导，且 [tex=8.286x3.0]G6+1YvlrFaF5P6VmU9fE2DS/0iDMCyPAxzJiFHoWmePvQHjYU7G8KcZ6d3H2+L8aHxPQvbyXP1cPn+WOyl5f1A==[/tex] 求证: 在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]内至少存在一点 [tex=0.786x1.214]KegfMaYpIlzP8JA53y93/Q==[/tex]使得 [tex=4.214x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOsmb1i8xL21i2iKFOotkgrI=[/tex]
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex]上连续，在 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内二阶可导，过点 [tex=4.286x1.357]3VwOmhm70HZjP0fWVuhSbA==[/tex] 与 [tex=4.286x1.357]WMFxYm/9ahUrxVY4vZzNfw==[/tex] 的直线与曲线 [tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex] 相交于点 [tex=4.071x1.357]DNZJXwkt8ldYocT8b0CVgg==[/tex], 其中 [tex=4.143x1.071]RD6igP7U4gFQR5kdr6fDYg==[/tex] 证明：在 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使得 [tex=3.571x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq/W515jKWWOhzvZGOPtt+yY=[/tex]