证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的子集是[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]的连通子集。
证：设[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的子集为[tex=9.929x1.357]9gp10RJ8ZK4j+FlEmjwLK147yJGuiqwa9ebs9dUqjefDlvm5r6gXOyRrJ5WjHAAcX+HQJX/3CyEN7JT/OXd175ZDAGlXDr5oD2xkJ268nlM=[/tex]。设[tex=11.143x1.357]sGcVwI6TfXu1ACwVr/TaRq3i5YqNTeBIlETHZYa2O87WWW882zEMJdU+jktYocDsp+LUSub70PrGUl5qKoWmtOL9YpxFbtQZrv5SIIGDaWs=[/tex]，不妨设[tex=0.929x1.0]gli8UB1bTl2bTdA8x5IHiA==[/tex]是有理数，若[tex=0.857x1.0]H9CEyrmsTt5BojdEfgpOeg==[/tex]是有理数，由于[tex=8.429x1.357]/l6CTr/qgYMuNJ/H1gz2VRFMHQPKpazX40LMFNZBvp6KRlrOD6jCPRoAoiWISRi98MmsxphiCFUAlljmI32AnbkCl1Va6sv6cb8C2x5txnI=[/tex]皆连通，且[tex=17.5x1.357]TVwvo97dGorN5sKIsS8SQs5dLpgJRtmDj/MFN6OTFFYXUGM7RyuI6ku7aybnXvBGZuXTaYvM9oJam4Twsf8esIeiKn89QO/zpWo8JNjfT1W+K5Zlu4Tk30oMb+sXG3LMm5ObmqSVSR4sAqDRBUA9Dcf/juGK5665AFnIfcOkh39rXgy2+l/3L6ZINifkCI3pMx6bp1J6av3SZS77kZLU0OH6adiL5wQVnXFyLjJKlmQ=[/tex]，故[tex=10.643x1.357]TVwvo97dGorN5sKIsS8SQs5dLpgJRtmDj/MFN6OTFFYXUGM7RyuI6ku7aybnXvBGBGXZOr5PkBsdpOQgytCqJifaD/Vbk9hLoKDScsv58Fc8hditeIxSgXJPASYezq/+uz8U9pI4eW3JO/wXFyN1sg==[/tex]连通。若[tex=0.857x1.0]H9CEyrmsTt5BojdEfgpOeg==[/tex]不是有理数，则[tex=0.857x1.0]UvvaRg6iPc9VUnAipx8Ijg==[/tex]是有理数，此时同上讨论可知[tex=16.071x1.357]TVwvo97dGorN5sKIsS8SQs5dLpgJRtmDj/MFN6OTFFYXUGM7RyuI6ku7aybnXvBGQ4VgRoj2ugiSB7NA2dfILhHqnEaz9homWsTwXOnNtbwq51jHtEjScO5TROw9zcHh/VuBDPA98jAqr4tztGNDAaHspMsjfbWnofkf0t28u8f6MLrYuvBFGBHlVkd8vRRv[/tex]为连通的，因此总有[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的连通子集，[tex=1.571x1.286]FOWOFd788ET5wSPLpnFwTA==[/tex]，满足[tex=5.286x1.286]O4MfWEZJjtTNXf5vuxWihPBhg/5ENWYONHGvWtmGj0w=[/tex]，知[tex=0.786x1.0]HHTdY9vrWUBEZOJHQ7LMRg==[/tex]是连通的。
举一反三
- 证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有第二个坐标为有理数的点构成的集合[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与所有第一个坐标为0的点构成的集合[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的并集 [tex=2.643x1.0]nnfU3ueC7heOntsosOPpjA==[/tex]是连通子集；但[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]不是连通子集。
- 证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]的子空间[tex=13.429x1.357]l4n0xkgFXGGZAeEWYZHPAjHYHcMYP3iF1C+2TJJELNVmZwBO02PJaQnjVRJoeZglbvvOevD7iP2XKH7aKwTa4A==[/tex]不同胚于[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]。
- 在集合[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中给定一个子集族[tex=19.143x1.357]d918judtxp5/KNITOayX7ttYV65WSq87z4GImqp/bUHVZHYskx4puVZgTafsyev7wiWM3LBddPUzxC9Imngp4Y8Ge4w3t2EUIQdCxncBMlMiiZ95+ivFt5FlfGEAXwVj[/tex]验证[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]有唯一的拓扑[tex=1.143x1.0]5EeoPXNdbULZC7oxMFoDnh4YQNDKibeVT7J/blr9eWU=[/tex]以[tex=1.071x1.0]lLbu2XDTlf5JDrin/vFH+qIHMVCPAxDFd8hEyua/n4g=[/tex]为它的一个子基。令[tex=11.071x1.571]yb0DHGdEEjE6ZBzQSdX+nVHb3VOrRVuFGQE+axN2AFx4yWW4gtgkv2W7ecSU63FjD+WyUN+4TSnl0LQ7ka2SAQ==[/tex]问[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]作为拓扑空间[tex=3.5x1.571]QyjN4PEoUsC42ms94ZYXqk7V1b3k0v4mc46DLR287NlXsAZkvhX1qFKMCPliKPQW[/tex]的一个子空间时有什么特点？(提示：证明拓扑空间[tex=4.357x1.357]D/1hbzEY3//Xp0+MQ4PL8dzCYQXq7O1dj1nYZTf+70k=[/tex]是一个离散空间。)
- 在欧氏平面[tex=1.143x1.286]TI7jqqDiM1RJHIUxyvKDvg==[/tex]中令A是所有第二个坐标为有理数的点构成的集合，B是所有第一个坐标为0的点构成的集合，证明：A不是连通子集，[tex=2.643x1.286]gaNSlDCBj/lsUEFg11ToRA==[/tex]是连通子集。
- 设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为从欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]到实数空间[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]的连续映射，证明[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中最多只有两个点的[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]原象为非空的可数集。
内容
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设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射，证明：如果Z为X的一个连通子集，则[tex=2.071x1.286]4Z9CM7uE3guEK2sbbmjgzg==[/tex]是一个连通子集。
- 1
设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
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设 9 阶无向图 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中,每个顶点的度数不是 5 就是 6, 证明 : [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中至少有 5 个 6 度顶点或至 少有 6 个5 度顶点.
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设X是一个拓扑空间，[tex=3.571x1.286]h5RrWxwu2hEJ/oVLNvaT6w==[/tex]是连通的。证明：如果E是一个既开又闭的子集，则[tex=3.5x1.286]cj4anearKiJmCnSM9HoBfw==[/tex]或者[tex=3.5x1.286]bxrEN9KEOfgV0TXNLzD1LWfnW9Pa9BIlgSfdOUekFZ4=[/tex]。
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证明：[tex=1.286x1.0]iFde2obXqrxnAJWng06sjg==[/tex]中的一切有理点之集[tex=1.286x1.214]pq2ZkGLCwdwEoRLShfjopg==[/tex]与全体自然数之集对等