证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的子集是[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]的连通子集。

证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]的子空间[tex=13.429x1.357]l4n0xkgFXGGZAeEWYZHPAjHYHcMYP3iF1C+2TJJELNVmZwBO02PJaQnjVRJoeZglbvvOevD7iP2XKH7aKwTa4A==[/tex]不同胚于[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]。

在集合[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中给定一个子集族[tex=19.143x1.357]d918judtxp5/KNITOayX7ttYV65WSq87z4GImqp/bUHVZHYskx4puVZgTafsyev7wiWM3LBddPUzxC9Imngp4Y8Ge4w3t2EUIQdCxncBMlMiiZ95+ivFt5FlfGEAXwVj[/tex]验证[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]有唯一的拓扑[tex=1.143x1.0]5EeoPXNdbULZC7oxMFoDnh4YQNDKibeVT7J/blr9eWU=[/tex]以[tex=1.071x1.0]lLbu2XDTlf5JDrin/vFH+qIHMVCPAxDFd8hEyua/n4g=[/tex]为它的一个子基。令[tex=11.071x1.571]yb0DHGdEEjE6ZBzQSdX+nVHb3VOrRVuFGQE+axN2AFx4yWW4gtgkv2W7ecSU63FjD+WyUN+4TSnl0LQ7ka2SAQ==[/tex]问[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]作为拓扑空间[tex=3.5x1.571]QyjN4PEoUsC42ms94ZYXqk7V1b3k0v4mc46DLR287NlXsAZkvhX1qFKMCPliKPQW[/tex]的一个子空间时有什么特点？(提示：证明拓扑空间[tex=4.357x1.357]D/1hbzEY3//Xp0+MQ4PL8dzCYQXq7O1dj1nYZTf+70k=[/tex]是一个离散空间。)

设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为从欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]到实数空间[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]的连续映射，证明[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中最多只有两个点的[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]原象为非空的可数集。

证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有第二个坐标为有理数的点构成的集合[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与所有第一个坐标为0的点构成的集合[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的并集 [tex=2.643x1.0]nnfU3ueC7heOntsosOPpjA==[/tex]是连通子集；但[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]不是连通子集。