在欧氏平面[tex=1.143x1.286]TI7jqqDiM1RJHIUxyvKDvg==[/tex]中令A是所有第二个坐标为有理数的点构成的集合，B是所有第一个坐标为0的点构成的集合，证明：A不是连通子集，[tex=2.643x1.286]gaNSlDCBj/lsUEFg11ToRA==[/tex]是连通子集。
举一反三
- 证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有第二个坐标为有理数的点构成的集合[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与所有第一个坐标为0的点构成的集合[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的并集 [tex=2.643x1.0]nnfU3ueC7heOntsosOPpjA==[/tex]是连通子集；但[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]不是连通子集。
- 证明欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的子集是[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]的连通子集。
- 设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射，证明：如果Z为X的一个连通子集，则[tex=2.071x1.286]4Z9CM7uE3guEK2sbbmjgzg==[/tex]是一个连通子集。
- 由非空集合X的所有子集构成的集合称为X的幂集，记作[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex].（1）设X={a,b,c}，求[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex].（2）设X是由n个元素组成的有限集，证明[tex=1.143x1.214]6fgP1j+0v37iZFMJocAU+g==[/tex]中含有[tex=1.0x1.0]j//x0/Z+ltpf5R8ThFOpMA==[/tex]个元素.
- 设A和B是拓扑空间X的隔离子集，证明：如果[tex=2.643x1.286]gaNSlDCBj/lsUEFg11ToRA==[/tex]是开集（闭集），则A和B都是开集（闭集）。