设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在区间 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内可导, 且对于任意 [tex=3.429x1.357]WwD1rvmcLUz5NmrhSa2JkQ==[/tex], 有 [tex=8.786x1.429]w6PVZnaDpV6OaJNAIufU/Km4T2nxnYwj/EK5GlAw/6sH4BybdtNVIutsqNz6IhNC[/tex] 。求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至多有一个零点。

2022-06-16

设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在区间 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内可导, 且对于任意 [tex=3.429x1.357]WwD1rvmcLUz5NmrhSa2JkQ==[/tex], 有 [tex=8.786x1.429]w6PVZnaDpV6OaJNAIufU/Km4T2nxnYwj/EK5GlAw/6sH4BybdtNVIutsqNz6IhNC[/tex] 。求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至多有一个零点。

答案：

证明: 反证法: 假设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少有两个零点, 即存在 [tex=8.786x1.357]IjSrbYLTVxKxuID2DVOos3An2zx9YNBCbAvWGxhEpTZ9rmmr+6KkBiqnbBeo7zJP[/tex], 使得 [tex=7.143x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDEDFQ7zfd5sD0rFKyw8Zl9ZWfsHbN53t3gulbIZ1zBAi[/tex] 设 [tex=8.0x1.571]mEboHYGvNE4hPBE/Eo2O1tKGHF1EkEAuDiDWPTaFuy0=[/tex] 则[tex=13.571x1.571]Tefk1Upuszlfr7AFYWAS0VcfNlOSew+vE7+rzRz+kBzOr0ephX8hnxg5/Gi+4D11niUFmRhYdVbfZfuuM5rOmIUuCXsoe5AZiQgKbYcCt0g=[/tex] 且 [tex=7.714x1.357]w4uxjv+LgxWwtIfrRieZKiRJejHkfHyhMnIteElR6GpblBDus9rdqLVtl4c/OJzv[/tex] 由 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的性质知，[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 在 [tex=2.857x1.357]ej80LYweWXSAgxV2FEjFvIPoWDYoOKOtcdqdMNhsnbE=[/tex] 上满足罗尔定理,  故存在一点 [tex=4.786x1.357]8RKkFq3VSakwEC4oKbM3pColT0fY3eo72BkSMHLgbGX8/LoIGVE4iaYTZff9TkKE[/tex] 使得[tex=14.214x1.571]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLuI7mQIk3gPPK9osM+c30zGCXCc6WT/NCHQzsYSvtE6wSbl1I7JespDHacPDmVA9qquCxCdLStQXOnsWyyAgDp2QSfJoZXq7BHsOkezCCp4r[/tex] 即 [tex=8.786x1.429]FwCHlx8CszYod8R2BOh14n4XYuv/u5Mh10Dc2cfZ30Uw/dNJOJcjKxTgykr2eBU7tMO7Y2uqUDGzBviAe9aGcQ==[/tex] 与给定的条件$ [tex=8.786x1.429]3EIoWSNspnOFMQDHY4bIh/Ry6vxuKILUbha18r3H4/cTEZZHSxp7diYzfjwaUAzd[/tex] 矛盾！即假设错误。故 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至多有一个零点.

举一反三

内容

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设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上有二阶导数[tex=2.429x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFqyq/RV3jccSxj4F/gfqSdMY=[/tex]，且[tex=4.214x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6+XZaisZmH3BjOmYlw2bi0=[/tex]，证明：[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]中至多有一个驻点。
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设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在区间[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有定义且连续.在怎样的情况下，方程[tex=5.0x1.357]4FAEVKXeWpq+BWzNaaSr2pIRnZB59tDTVNaVxvfck6A=[/tex]在区间 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有唯一连续的解.
2
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内连续，且[tex=2.714x1.5]sbopwFh15DGdZNjI1iYy4BCIF+of2Gf+KVIvIOMzH1E=[/tex]，[tex=2.643x1.5]IHSXusjiWmyZ2OSczOJSFbS9huIbEWUqkRG2jpVkEYc=[/tex]存在，证明函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有界.
3
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]、[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在闭区间 [ a,b] 上连续，在开区间[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导, [tex=4.357x1.357]ofcXAxuhoPxDzfgke4XjjA==[/tex]且恒有[tex=5.929x1.429]w5NaGPsvm6hO5dX+lZLarVuziTlfN62IjL72bp2y2Mw=[/tex] 证明: [tex=4.714x1.357]1s10UZuZuMrekUr+mvDN2g==[/tex]。
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，且[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上单调增加，则曲线[tex=3.143x1.357]5GsAo+Z/osV3R3OuJpjhLA==[/tex]在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内为[input=type:blank,size:4][/input]弧.