设函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在点[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]处连续,且 [tex=4.214x1.286]HHWv4BKJz9oky5PFHA7l/hJXENCAxbyxcRhyYL/e/vQ=[/tex].$ 证明存在[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]的邻域使[tex=3.643x1.286]CCnfZ4Ae70v5Kp8yY8Huh9gZDOUTqHEDd0SbeWWG77E=[/tex] .

2022-06-18

设函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在点[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]处连续,且 [tex=4.214x1.286]HHWv4BKJz9oky5PFHA7l/hJXENCAxbyxcRhyYL/e/vQ=[/tex].$ 证明存在[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]的邻域使[tex=3.643x1.286]CCnfZ4Ae70v5Kp8yY8Huh9gZDOUTqHEDd0SbeWWG77E=[/tex] .

答案：

证由[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]处连续知道,对任意 [tex=2.357x1.071]/A+5vwsEJRNKGtznoqfPMw==[/tex],存在 [tex=2.286x1.071]U2vn5If3wiVpiGUUuu/xGA==[/tex],当[tex=4.429x1.357]BaERDnmQZjCGS/ZSW2O0XwwEw0Cj3x+hzox2jzospvg=[/tex]时，[tex=7.143x1.357]1jqL5fRDx9Ixx8o7YwBfy96mKKIiwI/cSfPL82t4M02IOo0z8jy2UG+YjsaDXN01NBegxaNHc+8+SEFuV9Ptkw==[/tex]恒成立. 因而[tex=15.071x1.357]o2V1HnTWq9ZE65IWgGn/MC95q6fNEj/ijkZOMM/nUQ0VdjmO6IPozwIXVb9yyFgiplMS+VD6SQGd2dR+P7quxyBhaFQEaSQ/lMVnDgcSKxA87Cwpa+jYZJ4k/jBRAgFm6S6vErfg23USZrq0lqCshA==[/tex]于是[tex=8.643x1.357]gTpwfjik95Qvb+CZwDVoGeW+EgYN9f0+tpQFjreBvBvRgjwH50UVg9Yq+YP9amk/o8UsWfa1NJ80Dcgmf0JqaQ==[/tex], 从而 [tex=9.143x1.357]2eGL/PUYTNwkis77VnQswjuETTXB0wYVVth7AfahzN1LuX8Qe9JDo19XhQ18YplL9hxT5MAfFZrgb9N1KpIciw==[/tex]由此只要取[tex=6.5x1.357]LLMIRVDKl57ZFYTkGoPmmxOwvJYcSdRQw93LIlDZjFrlWRgf5b7t+ZJSft3fjktH[/tex],则存在[tex=2.286x1.071]X+2eW6IhkPknBwSlAw9fFQ==[/tex],当 [tex=4.429x1.357]BaERDnmQZjCGS/ZSW2O0XwwEw0Cj3x+hzox2jzospvg=[/tex]时 [tex=9.429x1.357]GETCU22t8rY9XOLRaHkUcEXpaaRMngy0WI34k6/B6145UjJ8uVYZGVhnhZDQYZcVy++Wvbq7bO8BLs+NokO/kdPEspbJbdfVrFBfI5MyK4Q=[/tex],于是[tex=3.643x1.286]CCnfZ4Ae70v5Kp8yY8Huh9gZDOUTqHEDd0SbeWWG77E=[/tex].

举一反三

内容

0
设[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在[tex=4.714x1.357]hRBghB1FoF+HB7ZT1qnRiGv9Z1yqs2G9CA/IokurCAs=[/tex]内解析，且除[tex=3.714x1.357]5hMCC+Cn0Zt++8yx325urGhbauihzzFNdAjyfVA8dQQ=[/tex]外，在其它点处不恒为零. 证明：必存在一个[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]的邻域. 在这个邻域内除[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]外不再有[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的零点(解析函数零点的孤立点).
1
设 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在单连通区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内除点 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 外解析，但在 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 点的近旁有界. 证明: 对于 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内包含 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 的任何简单闭由线 [tex=0.714x1.0]zAR8JLTji7MW5PnI4azq+Q==[/tex], 有 [tex=5.5x2.643]jvYa9YpQY23y0swhan4DGtu95exMLFKI67Xsh4tHXYk=[/tex] . （提示：利用形变公式,作中心在 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 半径充分小的圆周 [tex=1.429x1.357]seVSruAJooGgSzZ5qhLHBsXc3cBbAncQrAt8iSu/9o0=[/tex]
2
设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 满足下列条件之一:(1) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级零点;(2) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级极点;(3) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的可去奇点或极点, [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的本性奇点.试问 [tex=4.286x1.357]fEUqjS2iSmIaw7xo84hiOA==[/tex], [tex=3.786x1.357]8xSpETy0xp3zi/DyKlE2JYcMVtZiIW/zWVp1o+kohj8=[/tex] 和 [tex=2.0x2.714]bqbhhTd1KTztb29Xnmsth/3LqSU37V6r9jFMyLGNE6g=[/tex] 在点 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 各具有什么性质.
3
设[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]是函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶零点，又是[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶零点，试问下列函数在[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]处具有何种性质？[tex=3.786x1.357]vA5eIpsIx7tLLSrzy6uisw==[/tex]。
4
设[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]是函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶零点，又是[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶零点，试问下列函数在[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]处具有何种性质？[tex=4.286x1.357]MRPfdtM6KzlARCD+8PmXKQ==[/tex]。