设[tex=2.0x1.214]h5BeVqT5Z1GL62PdxuPBZQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的两个有限正规子群，并且[tex=5.429x1.357]f6xGg70FDtko6pOhqcJ1dQ==[/tex]证明：如果商群 [tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex]和 [tex=2.143x1.357]S08qmQHDqj9sWIDFkqxgdg==[/tex]都是交换群，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]也是交换群.

2022-06-18

设[tex=2.0x1.214]h5BeVqT5Z1GL62PdxuPBZQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的两个有限正规子群，并且[tex=5.429x1.357]f6xGg70FDtko6pOhqcJ1dQ==[/tex]证明：如果商群 [tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex]和 [tex=2.143x1.357]S08qmQHDqj9sWIDFkqxgdg==[/tex]都是交换群，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]也是交换群.

答案：

证：因为[tex=10.214x1.214]pzsd/NqmMDvspwvUxM1HwhknO/+W2qbBx3wnAjGwMsSrQqy/895iNq4VOA52/ZoP[/tex]，而[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]又都是有限子群，故[p=align:center][tex=10.357x1.357]HjlMUEpP+VA3GqitMT0YD0XxQG0YM384hp/6DfV8GicIKBCv59UvLwIPwtvuiFDV[/tex]从而[tex=8.357x1.357]+cst3fbfYIjiaTGceJAjlFlX2SXJHjIbDGYn78hguEk=[/tex]但由题设[tex=5.429x1.357]/f46bTglBjHLOckFtdZx3w==[/tex]所以[p=align:center][tex=11.286x1.357]dnE/UA7erOzz++DmyP57ZURMvjsl7rAMQPOG6PWbYZAW5aWnNrotZ8ZkioH9Ttrl[/tex][tex=4.0x1.214]3p9vSbuXy9b35NRjagiE2Q5HhaFTAHwDuEsVjif1rzI=[/tex]，则由于商群[tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex]和[tex=2.143x1.357]S08qmQHDqj9sWIDFkqxgdg==[/tex]都是交换群，故[p=align:center][tex=10.071x1.214]GYjE217ZYinKldgu09Gap5tWbkzfsBgb+SuqXWnEU/7gM/jVGvYlyHGUuSi7slHa[/tex]即[tex=11.143x1.429]sfy2nrDugnEJMhuNczpd9pRnwouRV4pQR/RpO9p4cTc0j4kiVBgdDeaUb4PC91kAWkH4pBQXhWBrnwNHWBJ+mQ==[/tex]进而[p=align:center][tex=17.786x1.5]ONSPdYX2bIQ8oaDDMPefFSrgX+kLWVBhUUUy5WOJGcUvm1aakR8HRNKrnRhVuiMPSqVUiQxr8G55y6R9U9MfUozTlzhKahF+j5tOLaJcAZE=[/tex]故 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群.

举一反三

内容

0
设[tex=2.0x1.214]h5BeVqT5Z1GL62PdxuPBZQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的两个子群。证明: 当且仅当 [tex=3.071x1.071]3xgDjzfwjLudPzqGGkG7+w==[/tex] 或 [tex=3.071x1.071]5t6JH772shJGUim0IYHIDQ==[/tex]时，[tex=2.857x1.0]urJhYYDTzgVgGHegtUiqcg==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。利用此结论证明: 群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 不能被它的两个真子群所覆盖。[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 能被它的三个真子群所覆盖吗?
1
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群。证明: 如果对任意的[tex=2.357x1.214]u2lVcDsim/zlZpBEangpAw==[/tex] 都有 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex]，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个交换群。
2
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为交换群, [tex=3.929x1.357]GrT1Ckri1vTSSUahAGsljQ==[/tex]是一个正整数. 证明: 如果 [tex=2.357x1.357]n8GQc38XvmGZfZ5nwx3wAA==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶子群.
3
设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
4
[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群,[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是循环子群且在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中正规,则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的子群在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都正规 .