设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是循环群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群, 证明: [tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex] 也是循环群.
举一反三
- [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群,[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是循环子群且在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中正规,则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的子群在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都正规 .
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？
- 假定 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个循环群, [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的一个子群,证明 [tex=2.429x1.357]YioWiJe8ck8O4ZXClDdCDw==[/tex] 也是循环群.[br][/br]
- 设 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的固定元素，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与群 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex]同构 。
- 设[tex=2.0x1.214]h5BeVqT5Z1GL62PdxuPBZQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的两个有限正规子群，并且[tex=5.429x1.357]f6xGg70FDtko6pOhqcJ1dQ==[/tex]证明：如果商群 [tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex]和 [tex=2.143x1.357]S08qmQHDqj9sWIDFkqxgdg==[/tex]都是交换群，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]也是交换群.