证明 : 连续函数[tex=4.714x1.214]rBvTQ4lcCJM4M3RY+40Crw==[/tex] 在区间 [tex=4.857x1.071]V4rKHIU9pgIlRKTBYVziPg==[/tex] 内的值域是闭区间.
举一反三
- 应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]一致连续。
- 应用确界定理证明闭区间连续函数的零点定理。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续， 且[tex=5.429x1.286]X7mu1bQAI43TOgCZSV94BZX8fXDFGukLQCTlsfQQ+aY=[/tex]， 则在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 内至少存在点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]， 使[tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex]。
- 应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。 若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
- 设: 1) 函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在区域 [tex=10.857x1.357]WX80o8BeL09QUeE1S+jCKaJePOnFz7AKz0cEfVMt8NI=[/tex]内连续; 2)函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]在区间 [tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex] 内连续, 且函数值属于区间[tex=2.429x1.357]36ozQVwWih66+Gec78SJEg==[/tex] . 证明: 函数[tex=6.857x1.357]k3zDLA8gwM4w0ZRZurYyVZoejW0f7L4Ik8P9Srw3I/w=[/tex]在区间 [tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex]内连续.
- 设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,其值域 [tex=6.857x1.357]JGOkDZJ4GMN8UM8ij+39BwcNYfaDtwpbCzp750EqD8s=[/tex]证明该函数存在不动 点,即存在[tex=3.429x1.357]iixrPRfC9tnxFYayq33b+/EH2J/liipZ+5YrKxv3dJM=[/tex]使得 [tex=4.5x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvKGbzwaUWiCtdWXWs8kciP0=[/tex]