证明 : 连续函数[tex=4.714x1.214]rBvTQ4lcCJM4M3RY+40Crw==[/tex] 在区间 [tex=4.857x1.071]V4rKHIU9pgIlRKTBYVziPg==[/tex] 内的值域是闭区间.

2022-06-18

证明 : 连续函数[tex=4.714x1.214]rBvTQ4lcCJM4M3RY+40Crw==[/tex] 在区间 [tex=4.857x1.071]V4rKHIU9pgIlRKTBYVziPg==[/tex] 内的值域是闭区间.

答案：

证 显然,当[tex=4.071x1.357]570B5gxlEe+p3JGYGR+zTXgWKfkJ7lawFnASwI+P4ws=[/tex]时,[tex=6.429x1.143]jqD5YAe/swlq2uSCLPjfL5OMWsdHVNwOSct295hmARiOHfFsp7Oild7x8JALqoRl[/tex]从而, [tex=7.357x1.143]Bc7R9h/kD2F8Uy1n2l8PJ3sEy0yZxbrzmhJJj4c/mBUkU2MlIq4Q/iatohQ/oGkV[/tex]而由于 [tex=8.357x1.643]xQFfHzpN8V3oA6VrzUNN9my7dr70U2sEeuCuv3SOteJX5J/YChb4dWETRzyS/x1GMKItkQMSUm8bt7FeAJK+95ErW1AGkqP4PQCUttjIkuY=[/tex] 而 [tex=4.714x1.214]/Dz/svDdz/WSrtuw3jGqkw==[/tex]是 [tex=3.929x2.786]Dy3G6USvMq27GCCxUSCxaRPOwhvjWPOIZQV5k7z2tRUS2PN5DK0/wtC5NCmkHkrT[/tex] 上的连续函数,故由介值定理知当 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 从[tex=0.857x2.143]N6eo2Jyw0qeC1xLZcnA39w==[/tex]变到[tex=1.357x2.357]gVunGd02SCLqg1pYddG29zyXb5GMBCKZhY+EWabuydI=[/tex]时,[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 取 0 到 2 之间的一切数值. 由此可知当[tex=4.857x1.071]V4rKHIU9pgIlRKTBYVziPg==[/tex] 时,[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 的值域是闭区间[tex=2.286x1.357]2bR6oyaKge6nx7YkLXmzgw==[/tex]

举一反三

内容

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证明：如果函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在区间上连续，则函数[tex=2.429x1.357]9cM+yXmMqe9Sxnqa+l2Eqg==[/tex]在同一区间上连续 .
1
证明 :若函数[tex=3.786x1.357]UvhdVkag8301tqptZS9pSnTEzUw1hXvnrVsqGMpf3EM=[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上是连续的; (2)在此区间内有有限的导数[tex=2.5x1.429]h1oRERik5iMM24jtwqaN8w==[/tex](3)不是线性函数,则在区间[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]内至少能找到一点c,使得[tex=9.143x2.786]wBItcjJDvNNHOcWxpgmCvw19lCqlzpiCYlSJ89399sOnUrWYhH+JS0rtDjKN6gx1uKkphh9SJt1GuhM4bovdPA==[/tex]给出这个事实的几何解释.
2
设（1）函数[tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex]于[tex=6.0x1.286]fjJAzWZtJs19NgfzEJQ8oL4NXi+f4XlFwMPX3bGqJus=[/tex]内是连续的；（2）函数[tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]于区间[tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex]内连续且[tex=5.786x1.286]ZtVoL2TPCOybj66A3npvNbhJeYGp4hNc/LvOUnJk++o=[/tex]，证明：函数[tex=7.071x1.357]/w6TAplo7xn6TT9r64StC51ve9r5I6ONL24sJHt6ps8=[/tex]在区间[tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex]内是连续的。
3
函数 [tex=6.857x1.357]bX3RSYB6d97x4lYmK9rf5Q==[/tex]在区间[input=type:blank,size:4][/input]内单调减少,在区间[input=type:blank,size:4][/input]内单调增加.
4
证明：若函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在区间[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex] 一致连续，则函数[tex=4.857x1.286]Nnp9vuY4LZlhpdPS0OpMaA==[/tex] 也在区间[tex=0.571x1.286]RM7SKoKhXo5BhokAgZJ3fQ==[/tex]也一致连续。